Question

17．已知：有一副直角三角板，在三角板ABC中，∠A=90°，∠B=30°，AC=2cm；在三角板DEF中，∠E=90°，∠D=45°，DE=2cm，将这副三角板按如图1所示位置摆放，点C与点F重合，BC与CE在同一条直线上，现固定三角板DEF，将三角板ABC以每秒1cm的速度沿着射线CE方向平行移动，当点B运动到点F时停止运动．
（1）如图2，当三角板ABC运动到点C与点E重合时，设AC与FD的交点G，则∠FGE=75°；
（2）在三角板ABC运动过程中，当点C在线段FE上运动了t秒时，设AC与FD的交点G，求点G到FE的距离（用含t的式子表示）；
（3）在三角板ABC运动过程中，两块三角板重合部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并求出对应的t取值范围．（写出简要过程）

Answer 1

分析 （1）根据三角形的内角和得到∠ACB=60°，∠DFE=45°，于是得到结论；
（2）如图3，过G作GH⊥CF于H，解直角三角形即可得到结论；
（3）①当0＜t≤2时，如图3，②当2＜t≤$\sqrt{3}+$1时，如图4，③当$\sqrt{3}$+1＜t≤3时，如图5，④当3＜t≤4时，如图6，根据图形的面积的和差即可得到结论．

解答 解：（1）∵∠A=90°，∠B=30°，
∴∠ACB=60°，
∵∠DEF=90°，∠D=45°，
∴∠DFE=45°，
∴∠FGE=180°-∠ACB-∠GFE=75°；
故答案为：75°；

（2）如图3，过G作GH⊥CF于H，
∵∠GFH=45°，
∴FH=GH，
∵∠GCH=60°，
∴CH=$\sqrt{3}$GH，
∵CF=t，
∴GH+$\sqrt{3}$GH=t，
∴GH=$\frac{3-\sqrt{3}t}{2}$；

（3）①当0＜t≤2时，如图3，S=$\frac{1}{2}$CF•GH=$\frac{1}{2}$×$\frac{（\sqrt{3}-1）t}{2}$×t=-$\frac{\sqrt{3}-1}{4}$t²；
②当2＜t≤$\sqrt{3}+$1时，如图4，∵EF=DE=2，FH=GH=$\frac{（\sqrt{3}-1）t}{2}$，CF=t，
∴CE=t-2，
∴PE=$\sqrt{3}$（t-2），
∵HE=2-$\frac{（\sqrt{3}-1）t}{2}$，
∴S=S_△GFH+S_{四边形PEHG}=$\frac{1}{2}$（$\frac{（\sqrt{3}-1）t}{2}$）²+$\frac{1}{2}$（$\frac{（\sqrt{3}-1）t}{2}$+$\sqrt{3}$t-2$\sqrt{3}$）（2-$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$t）=$\frac{\sqrt{3}-3}{4}$t²+（$\sqrt{3}$-1）t-2$\sqrt{3}$；
③当$\sqrt{3}$+1＜t≤3时，如图5，
∵∠A=90°，∠B=30°，AC=2cm，
∴BC=4cm，
∴BF=4-t，CE=t-2，
∵GH=FH，BH=$\sqrt{3}$GH，
∴BH-FH=BF=4-t，
∴GH=$\frac{3-\sqrt{3}t}{2}$，
∴S=S_△ABC-S_△BGF-S_△CPE=$\frac{1}{2}×$2×2$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$（4-t）×$\frac{3-\sqrt{3}t}{2}$-$\frac{1}{2}$（t-2）•$\sqrt{3}$（t-2）=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$t²-$\frac{3+4\sqrt{3}}{4}$t+2$\sqrt{3}$+3；
④当3＜t≤4时，如图6，
由③得，GH=FH=$\frac{3-\sqrt{3}t}{2}$，CE=t-2，BF=4-t，
∴BE=4-CE=6-t，
∴PE=$\frac{6-t}{\sqrt{3}}$，
∴S=S_△BPE-S_△BFG=$\frac{1}{2}$（6-t）×$\frac{6-t}{\sqrt{3}}$-$\frac{1}{2}$×（4-t）×$\frac{3-\sqrt{3}t}{2}$=-$\frac{\sqrt{3}}{12}$t²+$\frac{6-7\sqrt{3}}{8}$t+6$\sqrt{3}$-3．
综上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{\sqrt{3}-1}{4}{t}^{2}（0＜t≤2）}\\{\frac{\sqrt{3}-3}{4}{t}^{2}（\sqrt{3}-1）t-2\sqrt{3}（2＜t≤\sqrt{3}+1）}\\{\frac{3\sqrt{3}}{4}{t}^{2}-\frac{3+4\sqrt{3}}{4}t+2\sqrt{3}+3（\sqrt{3}+1＜t≤3）}\\{-\frac{\sqrt{3}}{12}{t}^{2}+\frac{6-7\sqrt{3}}{8}t+6\sqrt{3}-3（3＜t≤4）}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了直角三角形的性质，解直角三角形，根据图形的面积公式求函数的解析式，正确的作出图形是解题的关键．