Question

【题目】读下面的题目及分析过程,并按要求进行证明。已知:如图,E是BC的中点,点A在DB上,且

∠BAE=∠CDE,求证:AB=CD

分析:证明两条线段相等,常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质,观察本题中要证明的两条线段,它们不在同一个三角形中,且它们分别所在的两个三角形也不全等。因此,要证明AB=CD,必须添加适当的辅助线,构造全等三角形或等腰三角形。现给出如下三种添加辅助线的方法,请任意选择其中两种对原题进行证明。

图(1):延长DE到F使得EF=DE

图(2):作CG⊥DE于G,BF⊥DE于F交DE的延长线于F

图(3):过C点作CF∥AB交DE的延长线于F.

Answer 1

【答案】选择（1）（3）证明，证明见解析

【解析】

如图(1)延长DE到F使得EF=DE,证明△DCE≌△FBE,得到∠CDE=∠F,BF=DC,结合题干条件即可得到结论;如图3,过C点作CF∥AB交DE的延长线于F,得到△ABE≌△FCE,AB=FC,结合题干条件即可得到结论,

如图(1)延长DE到F使得EF=DE

在△DCE和△FBE中,

∴△DCE≌△ FBE（SAS)

∴.∠CDE=∠F,BF=DC

∵∠BAB=∠CDE

∴BF=AB

∴AB= CD

如图3,过C点作CF∥AB交DE的延长线于F

在△ABE和△FCE中

∴△ABE≌△ FCE(ASA),

∴AB=FC

∵∠BAE=∠CDE

∴∠F=∠CDE

∴CD=CF

∴AB=CD