Question

如图，F是等边△ABC的边AC的中点，D在边BC上，△DFE是等边三角形，ED的延长线交AB于H，则下列结论：①∠AHD+∠AFD=180°，②AF=BC，③CF+CE=CD，④为定值，其中正确的是

1. A.
   ①③
2. B.
   ②③
3. C.
   ①②③
4. D.
   ①②④

Answer 1

C
分析：①根据等边三角形的性质和四边形内角和为360°，可得∠AHD+∠AFD=180°；
②根据等边三角形的性质和中线的定义即可作出判断；
③在BC上截取CG═CF，连接FG，通过证明△DFG≌△EFC即可作出判断；
④由于无法确定∠AHD的度数，故的值无法确定．
解答：解：①∵△ABC，△DFE是等边三角形，
∴∠A=60°，∠FDE=60°，
∴∠HDF=120°，
∴∠AHD+∠AFD=360°-（120°+60°）=180°，故①正确；
②∵F是等边△ABC的边AC的中点，
∴AF=AC=BC，故②正确；
③在BC上截取CG=CF，连接FG．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴△FCG是等边三角形，
∴FG=FC，∠GFC=60°，
∵△DFE是等边三角形，
∴FD=FE，∠DFE=60°，
∴∠DFG=∠EFC，
在△DFG与△EFC中，
，
∴△DFG≌△EFC．
∴DG=EC，
CF+CE=CD，故③正确；
④无法确定∠AHD的度数，不为定值，故④错误．
故选C．
点评：考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，本题的难点是作出辅助线，构成全等三角形．