Question

如图所示，已知直线y=kx-1与抛物线y=ax²+bx+c交于A（-3，2）、B（0，-1）两点，抛物线的顶点为C（-1，-2），对称轴交直线AB于点D，连接OC．
（1）求k的值及抛物线的解析式；
（2）若P为抛物线上的点，且以P、A、D三点构成的三角形是以线段AD为一条直角边的直角三角形，请求出满足条件的点P的坐标；
（3）在（2）的条件下所得的三角形是否与△OCD相似？请直接写出判断结果，不必写出证明过程．

Answer 1

解：（1）∵直线y=kx-1经过A（-3，2），
∴把点A（-3，2）代入y=kx-1得：
2=-3k-1，∴k=-1，
把A（-3，2）、B（0，-1）、C（-1，-2）代入y=ax²+bx+c
得，
∴，
∴抛物线的解析式为y=x²+2x-1．

（2）由得D（-1，0），即点D在x轴上，
且|OD|=|OB|=1，
∴△BDO为等腰直角三角形，
∴∠BDO=45°，
①过点D作l₁⊥AB，交y轴于E，交抛物线于P₁、P₂两点，连接P₁A、P₂A，
则△P₁AD、△P₂AD都是满足条件的直角三角形，
∵∠EDO=90°-∠BDO=45°，
∴|OE|=|OD|=1，
∴点E（0，1），
∴直线l₁的解析式为y=x+1，
由
解得：或，
∴满足条件的点为P₁（-2，-1）、P₂（1，2）；
②过点A作l₂⊥AB，交抛物线于另一点P₃，连接P₃D，则△P₃AD是满足条件的直角三角形，
∵l₁∥l₂且l₂过点A（-3，2）
∴l₂的解析式为y=x+5，
由
解得：或（舍去），
∴P₃的坐标为（2，7），
综上所述，满足条件的点为P₁（-2，-1）、P₂（1，2）、P₃（2，7）．

（3）∵P₁（-2，-1），A（-3，2），D（-1，0），
∴P₁D=，AD=2；
而OC=1，CD=2，即P₁D：AD=OC：CD，
又∵∠OCD=∠P₁AD=90°，
∴△P₁AD∽△OCD，
同理可求得△P₂AD与△OCD不相似，△P₃AD与△OCD不相似；
故判断结果如下：
△P₁AD∽△OCD，
△P₂AD与△OCD不相似；
△P₃AD与△OCD不相似．
分析：（1）将点A的坐标代入直线AB的解析式中，即可确定k的值；根据A、B的坐标，可用待定系数法确定抛物线的解析式．
（2）根据抛物线的解析式，易求得D点坐标，可得OB=OD，即△OBD是等腰直角三角形；若△PAD是以AD为直角边的直角三角形，那么可分两种情况：
①以D为直角顶点，过D作直线l₁⊥AD，直线l₁与抛物线的交点即为所求的P点，设直线l₁与y轴的交点为E，由于△ODB是等腰直角三角形，故△ODE也是等腰直角三角形，即OD=OE，由此可得E点坐标，进而可根据D、E的坐标求出直线l₁的解析式，联立抛物线的解析式，即可得P点坐标；
②以A为直角顶点，过A作直线l₂⊥AD，同理直线l₂与抛物线的交点也符合P点的要求，由于直线l₁∥直线l₂，根据直线l₂的斜率和A点的坐标，即可求出直线l₂的解析式，然后联立抛物线的解析式，可得P点的坐标．
（3）根据C、D坐标，易得OC、CD的长，若（2）的直角三角形与△OCD相似，那么它们的直角边应该对应成比例，可先求出（2）中直角三角形的直角边长，然后再进行判断．
点评：此题考查了用待定系数法确定函数解析式的方法、直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法、相似三角形的判定和性质等知识，（2）题中，一定要根据直角三角形的不同直角顶点分类讨论，以免漏解．