Question

7．如图，在平面直角坐标系中，直线y=$\frac{1}{2}$x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第二象限内作正方形ABCD．
（1）求点A、B的坐标，并求边AB的长；
（2）求点D和点C的坐标；
（3）你能否在x轴上找一点M，使△MDB的周长最小？如果能，请求出M点的坐标；如果不能，说明理由．

Answer 1

分析 （1）对于直线解析式，分别令x=0与y=0求出对应y与x的值，确定出A与B的坐标，得到OA与OB的长，利用勾股定理求出AB的长即可；
（2）过D作DE垂直于x轴，过C作CF垂直于y轴，根据四边形ABCD的正方形，得到四条边相等，四个角为直角，利用同角的余角相等得到三个角相等，利用AAS得到三角形EDA，三角形AOB以及三角形BFC全等，利用全等三角形的对应边相等得到DE=OA=BF=4，AE=OB=CF=2，进而求出OE与OF的长，即可确定出D与C的坐标；
（3）找出B关于y轴的对称点B′，连接DB′，交x轴于点M，此时BM+MD=DM+MB′=DB′最小，即△BDM周长最小，设直线DB′解析式为y=kx+b，把D与B′坐标代入求出k与b的值，确定出直线DB′解析式，令y=0求出x的值，确定出此时M的坐标即可．

解答 解：（1）对于直线y=$\frac{1}{2}$x+2，
令x=0，得到y=2；令y=0，得到x=-4，
∴A（-4，0），B（0，2），即OA=4，OB=2，
则AB=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$；
（2）过D作DE⊥x轴，过C作CF⊥y轴，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=AD，∠ABC=∠BAD=∠BFC=∠DEA=∠AOB=90°，
∵∠FBC+∠ABO=90°，∠ABO+∠BAO=90°，∠DAE+∠BAO=90°，
∴∠FBC=∠OAB=∠EDA，
∴△DEA≌△AOB≌△BFC（AAS），
∴AE=OB=CF=2，DE=OA=FB=4，即OE=OA+AE=4+2=6，OF=OB+BF=2+4=6，
则D（-6，4），C（-2，6）；
（3）如图所示，连接BD，找出B关于y轴的对称点B′，连接DB′，交x轴于点M，此时BM+MD=DM+MB′=DB′最小，即△BDM周长最小，
∵B（0，2），∴B′（0，-2），
设直线DB′解析式为y=kx+b，
把D（-6，4），B′（0，-2）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-6k+b=4}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
解得：k=-1，b=-2，
∴直线DB′解析式为y=-x-2，
令y=0，得到x=-2，
则M坐标为（-2，0）．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，对称性质，以及一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．