Question

5．瑞士著名数学家自然学家欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，我们现在可以见到很多以欧拉来命名的常数，公式，定理，在分式中，就有这样一个欧拉公式：
$\frac{a′}{（a-b）（a-c）}$+$\frac{b′}{（b-c）（b-a）}$+$\frac{c′}{（c-a）（c-b）}$=$\left\{\begin{array}{l}{0（r=0.1时）}\\{1（r=2时）}\\{a+b+c（r=3时）}\end{array}\right.$
（1）计算：$\frac{a+x}{（a-b）（a-c）}$+$\frac{b+x}{（b-a）（b-c）}$+$\frac{c+x}{（c-a）（c-b）}$；
（2）试证明此公式中当r=3时的情形，即$\frac{{a}^{3}}{（a-b）（a-c）}$+$\frac{{b}^{3}}{（b-c）（b-a）}$+$\frac{{c}^{3}}{（c-a）（c-b）}$=a+b+c．

Answer 1

分析 （1）将分式拆项变形为[$\frac{a}{（a-b）（a-c）}$++$\frac{b}{（b-a）（b-c）}$+$\frac{c}{（c-a）（c-b）}$]+x[$\frac{a}{（a-b）（a-c）}$++$\frac{b}{（b-a）（b-c）}$+$\frac{c}{（c-a）（c-b）}$]，依此即可求解；
（2）将等式左边变形为$\frac{{a}^{3}（b-c）-{b}^{3}（a-c）+{c}^{3}（a-b）}{（a-b）（a-c）（b-c）}$，再将分子因式分解为（b-c）（a-b）（a-c）（a+b+c），约分即可求解．

解答 解：（1）$\frac{a+x}{（a-b）（a-c）}$+$\frac{b+x}{（b-a）（b-c）}$+$\frac{c+x}{（c-a）（c-b）}$
=$\frac{a}{（a-b）（a-c）}$+$\frac{x}{（a-b）（a-c）}$+$\frac{b}{（b-a）（b-c）}$+$\frac{x}{（b-a）（b-c）}$+$\frac{c}{（c-a）（c-b）}$+$\frac{x}{（c-a）（c-b）}$
=[$\frac{a}{（a-b）（a-c）}$++$\frac{b}{（b-a）（b-c）}$+$\frac{c}{（c-a）（c-b）}$]+x[$\frac{a}{（a-b）（a-c）}$++$\frac{b}{（b-a）（b-c）}$+$\frac{c}{（c-a）（c-b）}$]
=0+x×0
=0+0
=0；
（2）$\frac{{a}^{3}}{（a-b）（a-c）}$+$\frac{{b}^{3}}{（b-c）（b-a）}$+$\frac{{c}^{3}}{（c-a）（c-b）}$
=$\frac{{a}^{3}}{（a-b）（a-c）}$-$\frac{{b}^{3}}{（a-b）（b-c）}$+$\frac{{c}^{3}}{（a-c）（b-c）}$
=$\frac{{a}^{3}（b-c）-{b}^{3}（a-c）+{c}^{3}（a-b）}{（a-b）（a-c）（b-c）}$，
a³（b-c）-b³（a-c）+c³（a-b）
=a³（b-c）-b³（a-b+b-c）+c³（a-b）
=a³（b-c）-b³（a-b）-b³（b-c）+c³（a-b）
=（b-c）（a³-b³）-（a-b）（b³-c³）
=（b-c）（a-b）（a²+ab+b²）-（b-c）（a-b）（b²+bc+c²）
=（b-c）（a-b）（a²+ab+b²-b²-bc-c²）
=（b-c）（a-b）（a²-c²+ab-bc）
=（b-c）（a-b）[（a+c）（a-c）+b（a-c）]
=（b-c）（a-b）（a-c）（a+b+c），
则$\frac{{a}^{3}}{（a-b）（a-c）}$+$\frac{{b}^{3}}{（b-c）（b-a）}$+$\frac{{c}^{3}}{（c-a）（c-b）}$
=$\frac{（a-b）（a-c）（b-c）（a+b+c）}{（a-b）（a-c）（b-c）}$
=a+b+c．

点评 考查了分式的加减法，本题难度较大，关键是拆项法，因式分解法的灵活运用．