Question

如图，在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AB=1，两个动点P，Q同时从A点出发，点P沿AC运动，点Q沿AB，BC运动，两点同时到达点C．
（1）点Q的速度是点P速度的多少倍？
（2）设AP=x，△APQ的面积是y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围，
（3）求出y的最大值．

Answer 1

分析：（1）由于在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AB=1，由此可以利用勾股定理求出BC，AC的长度，又两个动点P，Q同时从A点出发，点P沿AC运动，点Q沿AB，BC运动，两点同时到达点C，利用这个条件即可求解；
（2）有两种情况：①当Q在AB上，利用（1）的结论和三角形的面积公式即可求解；②当Q在BC上，利用（1）的结论求出BQ，CQ的长度，也就可以求出Q到AB的距离，再利用三角形的面积公式即可求解；
（3）利用（2）的结论和二次函数的性质即可求解．

解答：解：（1）∵在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AB=1，
∴BC=2，AC=

3

，
而两个动点P，Q同时从A点出发，点P沿AC运动，点Q沿AB，BC运动，两点同时到达点C
∴Q的速度是P的速度的（2+1）÷

3

=

3

倍；
 
（2）∵设AP=x，△APQ的面积是y，
①当Q在AB上，

即0＜x≤

3

3

时，y=

3

2

x2，
②当Q在BC上，

即

3

3

≤x≤3时，y=

1

2

x×

1

2

(3-

3

x)，
即：y=-

3

4

x2+

3

4

x；

（3）对于y=

3

2

x2（0＜x≤

3

3

）
当x=

3

3

时，y最大=

3

6

对于y=-

3

4

x2+

3

4

x（ 

3

3

≤x≤

3

）
当x=

3

2

时，y最大=

3 3

16

，
∵

3 3

16

＞

3

6

，
∴当x=

3

2

时，y最大=

3 3

16

．

点评：此题这样考查了二次函数的最值和勾股定理的应用，解题时首先利用勾股定理求出相关线段的长度，然后利用几何图形的性质求出函数解析式，最后利用函数的最值即可解决问题．