Question

3．已知，如图，抛物线y=x²+bx+c的图象经过点A（-1，0），该抛物线与x轴的另一交点为B，与y轴的交点为C，tan∠CAO=3．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）在第四象限内的抛物线上有一动点D，其横坐标为m，设四边形ABDC的面积为S，试求S与m的函数关系，并说明当点D的坐标为何值时，S最大，最大面积为多少？

Answer 1

分析 （1）首先求出点C的坐标，然后列出b和c的二元一次方程组，求出b和c的值，进而求出抛物线解析式，即可求出顶点坐标；
（2）连接OD，过点D作DH⊥x轴于点H，根据S_{四边形ACBD}=S_△AOC+S_△COD+S_△BOD得到S与m的二次函数关系式，结合二次函数的性质求出S的最大值即可．

解答 解：（1）在Rt△COA中，
∵OA=1，tan∠CAO=3，
∴OC=3，
∴点C坐标为（0，-3），
则$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
解得b=-2，c=-3．
∴抛物线解析式为y=x²-2x-3，
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴抛物线顶点坐标为（1，-4）；

（2）如图，连接OD，过点D作DH⊥x轴于点H，
∵点D的横坐标为m，
∴DH=-m²+2m=3，OH=m，
∴S_{四边形ACBD}=S_△AOC+S_△COD+S_△BOD
=$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}$×3×m+$\frac{1}{2}$×3×（-m²+2m+3）
=-$\frac{3}{2}$m²+$\frac{9}{2}$m+6
=-$\frac{3}{2}$（m²-3m+$\frac{9}{4}$）+$\frac{75}{8}$，
即当点D坐标为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$）时，S_最大=$\frac{75}{8}$．

点评 本题主要考查了二次函数的综合题，此题涉及到待定系数法求二次函数的解析式、三角函数值的定义、四边形面积的求法等知识，解答本题的关键是把四边形ABDC拆分成三个三角形，此题难度不大．