Question

11．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（-3，0），点B的坐标是（0，4），动点C从点A出发沿射线AB方向以每秒1个单位的速度运动，过点C作CD⊥AB，交x轴于点D，点D关于y轴的对称点为D′，以DC，DD′为边作?CDD′E，设点C运动时间为t秒（t＞0）．
（1）当D在线段AO上时，用含t的代数式表示DD′；
（2）以AD为直径作⊙P，若点C在整个运动过程中，⊙P与△DD′E的边所在的直线相切，请求出所有满足条件的t的值；
（3）连接BD，△ABD与?CDD′E重叠部分的面积记为S₁，△CDD′E的面积为S₂，若$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$＞$\frac{1}{4}$，求t的取值范围（直接写出答案）．

Answer 1

分析 （1）由△ACD∽△AOB，得$\frac{AC}{AO}$=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{CD}{OB}$，$\frac{t}{3}$=$\frac{AD}{5}$=$\frac{CD}{4}$，求出AD、CD、OD，根据DD′=2OD即可解决问题．
（2）分两种情形①如图2中，当⊙P与DE相切时，②如图3中，当⊙P与DE′相切时．分别构建方程即可解决问题．
（3）①如图4中，当重叠部分是△CDF时，连接DE．当CF=EF时，S_△CDF=$\frac{1}{4}$S_{四边形CDD′E}，求出t的值，②当t=$\frac{9}{5}$时，四边形不存在．③如图5中，当重叠部分是△ABD时，且S_△ABD=$\frac{1}{4}$S_{四边形CDD′E}，求出t的值，由此即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，当点D在线段OA上时．

在Rt△ABC中，∵OA=3，OB=4，
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵∠A=∠A，∠ACD=∠AOB=90°，
∴△ACD∽△AOB，
∴$\frac{AC}{AO}$=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{CD}{OB}$
∴$\frac{t}{3}$=$\frac{AD}{5}$=$\frac{CD}{4}$，
∴AD=$\frac{5}{3}$t，CD=$\frac{4}{3}$t，
∴OD=3-$\frac{5}{3}$t，
∵OD=OD′，
∴DD′=2OD=6-$\frac{10}{3}$t．

（2）①如图2中，当⊙P与DE相切时，

∵∠EDD′=∠ACD=90°，∠ADC=∠ED′D，
∴△ACD∽△EDD′，
∴$\frac{AD}{ED′}$=$\frac{CD}{DD′}$，
∴$\frac{\frac{5}{3}t}{\frac{4}{3}t}$=$\frac{\frac{4}{3}t}{6-\frac{10}{3}t}$，
∴t=$\frac{15}{11}$．

②如图3中，当⊙P与DE′相切时．

∵PE⊥D′E，CD∥ED′，
∴PE⊥CD，∵CD⊥AB，
∴AC∥PE，∵CE∥AP，
∴四边形ACEP是平行四边形，
∴AP=CE=DD′，
∴$\frac{1}{2}$•$\frac{5}{3}$t=6-$\frac{10}{3}$t，
∴t=$\frac{36}{25}$，
综上所述，t=$\frac{15}{11}$s或$\frac{36}{25}$s时，⊙P与△DD′E的边所在的直线相切．

（3）①如图4中，当重叠部分是△CDF时，连接DE．

∵四边形CDD′E是平行四边形，
∴S_△CED=S_△DED′，
∴当CF=EF时，S_△CDF=$\frac{1}{4}$S_{四边形CDD′E}，
∵CF∥AD，
∴$\frac{CF}{AD}$=$\frac{BC}{BA}$，
∴$\frac{\frac{1}{2}（6-\frac{10}{3}t）}{\frac{5}{3}t}$=$\frac{5-t}{5}$，
解得t=1或9（舍弃），
∴t=1．
②当t=$\frac{9}{5}$时，四边形不存在．
③如图5中，当重叠部分是△ABD时，且S_△ABD=$\frac{1}{4}$S_{四边形CDD′E}，

则有$\frac{1}{2}$•$\frac{5}{3}$t•4=$\frac{1}{4}$•（$\frac{10}{3}$t-6）•$\frac{4}{5}$t，
解得t=$\frac{34}{5}$．
综上所述，当1＜t＜$\frac{9}{5}$或$\frac{9}{5}$＜t＜$\frac{34}{5}$时，$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$＞$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查圆综合题、切线的判定、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质．三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题．