已知二次函数y=ax2+bx-2的图象与x轴交于A.B两点.与y轴交于点C.点A的坐标为(4.0).且当x=-2和x=5时二次函数的函数值y相等．(1)求实数a.b的值,(2)如图1.动点E.F同时从A点出发.其中点E以每秒2个单位长度的速度沿AB边向点B运动.点F以每秒$\sqrt{5}$个单位长度的速度沿线段AC方向运动．当点F停止运动时.点E随之停止运� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

2．已知二次函数y=ax²+bx-2的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（4，0），且当x=-2和x=5时二次函数的函数值y相等．

（1）求实数a、b的值；
（2）如图1，动点E、F同时从A点出发，其中点E以每秒2个单位长度的速度沿AB边向点B运动，点F以每秒$\sqrt{5}$个单位长度的速度沿线段AC方向运动．当点F停止运动时，点E随之停止运动．设运动时间为t秒．连接EF，将△AEF沿EF翻折，使点A落在点D处，得到△DEF．
①是否存在某一时刻t，使得△DCF为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
②设△DEF与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式．

分析解：（1）把A点坐标代入解析式，再利用当x=-2和x=5时二次函数的函数值y相等列方程，然后解方程组求出a和b即可；
（2）①利用抛物线解析式确定B（-1，0），C（0，-2），再计算出AB=5，AC=2$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{5}$，则利用勾股定理的逆定理可证明△ABC为直角三角形，接着证明△AEF∽△ACB得到∠AEF=∠ACB=90°，所以△AEF沿EF翻折后，点A落在x轴上点D处，根据折叠的性质得DE=AE，且AD=2AE=4t，EF=t，讨论：若C为直角顶点，则点D与点B重合，如图2，易得2t=$\frac{1}{2}$×5，解得t=$\frac{5}{4}$；若D为直角顶点，如图3，证明∠ODC=∠OBC得到BC=DC，则OD=OB=1，所以2t=$\frac{3}{2}$，解得t=$\frac{3}{4}$；
②讨论：当0＜t≤$\frac{5}{4}$时，重叠部分为△DEF，如图1、图2，直接利用三角形面积公式得到S=t²；当$\frac{5}{4}$＜t≤2时，设DF与BC相交于点G，则重叠部分为四边形BEFG，如图4，过点G作GH⊥BE于H，设GH=a，利用正切的定义易得BH=$\frac{1}{2}$a，DH=2a，则DB=$\frac{3}{2}$a，所以$\frac{3}{2}$a=4t-5，则a=$\frac{2}{3}$（4t-5），然后根据三角形面积公式，利用S=S_△DEF-S_△DBG可用t表示S．

解答解：（1）由题意得$\left\{\begin{array}{l}16a+4b-2=0\\ 4a-2b-2=25a+5b-2\end{array}\right.$，解得$a=\frac{1}{2}，b=-\frac{3}{2}$；
（2）①抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2，
当y=0时，$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2=0，解得x₁=-1，x₂=4，则B（-1，0），
当y=0时，y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2=-2，则C（0，-2）
∴OA=4，OB=1，OC=2
∴AB=5，AC=2$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{5}$，
∴AC²+BC²=25=AB²，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，
∵AE=2t，AF=$\sqrt{5}$t，
∴$\frac{AF}{AE}=\frac{AB}{AC}=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，
又∵∠EAF=∠CAB，
∴△AEF∽△ACB，
∴∠AEF=∠ACB=90°，
∴△AEF沿EF翻折后，点A落在x轴上点D处，
∴DE=AE，
∴AD=2AE=4t，EF=$\sqrt{（\sqrt{5}{t）}^{2}-（2t）^{2}}$=t，
∵点F在线段AC上时
若C为直角顶点，则点D与点B重合，如图2
∴AE=$\frac{1}{2}$AB，
即2t=$\frac{1}{2}$×5，解得t=$\frac{5}{4}$；
若D为直角顶点，如图3
∵∠CDF=90°，
∴∠ODC+∠EDF=90°
∵∠EDF=∠EAF，
∴∠OBC+∠EAF=90°
∴∠ODC=∠OBC，
∴BC=DC
∵OC⊥BD，
∴OD=OB=1，
∴AD=3，
∴AE=$\frac{3}{2}$，解2t=$\frac{3}{2}$，解得t=$\frac{3}{4}$；
综上所述，当t=$\frac{3}{4}$或t=$\frac{5}{4}$时，使得△DCF为直角三角形；
②当0＜t≤$\frac{5}{4}$时，重叠部分为△DEF，如图1、图2，
∴S=$\frac{1}{2}$×2t×t=t²；
当$\frac{5}{4}$＜t≤2时，设DF与BC相交于点G，则重叠部分为四边形BEFG，如图4，
过点G作GH⊥BE于H，设GH=a，
∵∠BGH=∠BCO=∠ODF，
而tan∠BCO=$\frac{1}{2}$，
∴BH=$\frac{1}{2}$a，DH=2a，
∴DB=2a-$\frac{1}{2}$a=$\frac{3}{2}$a，
∵DB=AD-AB=4t-5，
即$\frac{3}{2}$a=4t-5，
∴a=$\frac{2}{3}$（4t-5），
∴S=S_△DEF-S_△DBG=$\frac{1}{2}$×2t×t-$\frac{1}{2}$（4t-5）×$\frac{2}{3}$（4t-5）=-$\frac{13}{3}$t²+$\frac{40}{3}$t-$\frac{25}{3}$．

点评本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质、折叠的性质和相似三角形的判定与性质；会利用待定系数法求二次函数和一次函数解析式；理解坐标与图形性质；会应用分类讨论的思想解决数学问题．

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