Question

已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，P是边AB上一点，AD⊥CP，BE⊥CP，垂足分别为D、E，已知AB=，BC=，BE=5．求DE的长．

Answer 1

解：如右图，
∵∠ACB=90°，AB=，BC=，
∴AC=3，
同理可求CE=2，
∵AD⊥CP，
∴∠DAC+∠ACD=90°，
∵∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
又∵∠BEC=∠ADC=90°，
∴△ACD∽△CBE，
∴AC：CD=CB：BE，
∴3：CD=3：5，
∴CD=，
∴DE=2-=．
分析：由于∠ACB=90°，AB=，BC=，利用勾股定理可求AC=3，同理可求CE=2，而AD⊥CP，吗，那么∠DAC+∠ACD=90°，又∠ACD+∠BCE=90°，根据同角的余角相等可得∠DAC=∠BCE，再结合∠BEC=∠ADC=90°，易证△ACD∽△CBE，于是AC：CD=CB：BE，易求CD，进而可求DE．
点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是证明△ACD∽△CBE，求出CD，进而求出DE．