Question

【题目】有一个边长为 1 的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形， 其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了下图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了 2019 次后形成的图形中所有的正方形的面积和是_____.

Answer 1

【答案】2020.

【解析】

根据勾股定理和正方形的面积公式，知“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是2×1=2；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是3×1=3，推而广之即可求出“生长”2019次后形成图形中所有正方形的面积之和．

解：如下图示

设直角三角形的是三条边分别是a，b，c．
根据勾股定理，得a2+b2=c2，
即正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积=1．
推而广之，“生长”了2019次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2020×1=2020．

故答案为：2020.