Question

13．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax²+bx+c的顶点为（-3，$\frac{25}{4}$），与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，D是BO的中点，直线DC的解析式为y=kx+4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△ADC的面积；
（3）点P是抛物线上一个动点（不与点C重合），若S_△BDP=S_△BDC，求点P的坐标；
（4）点P是抛物线在第二象限部分图象上一点，连接PD、PC，若点P的横坐标为t，
①写出S_△CDP关于t的函数关系式；
②计算S_△CDP的最大值，及此时点P的坐标；
③若PD将四边形BPCD的面积分成2：3的两部分，求t的值．

Answer 1

分析 （1）设抛物线的解析式为y=a（x+3）²+$\frac{25}{4}$，把点C（0，4）代入求出a即可解决问题．
（2）先求出A、B、D坐标，再根据三角形面积公式计算即可．
（3）S_△BDP=S_△BDC，推出点P的纵坐标为4或-4，列出方程解方程即可解决问题．
（4）①如图2中，连接OP，设P[m，-$\frac{1}{4}$（m+3）²+$\frac{25}{4}$]，根据S_△PCD=S_△POD+S_△POC-S_△OCD计算即可．
②利用配方法即可解决问题．
③根据题意列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+3）²+$\frac{25}{4}$，
由题意抛物线经过点C（0，4），
∴4=9a+$\frac{25}{4}$，
∴a=-$\frac{1}{4}$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{4}$（x+3）²+$\frac{25}{4}$．

（2）对于抛物线y=-$\frac{1}{4}$（x+3）²+$\frac{25}{4}$，令y=0，得到-$\frac{1}{4}$（x+3）²+$\frac{25}{4}$=0，解得x=-8或2，
∴B（-8，0），A（2，0），
∵D是OB中点，
∴D（-4，0），
∴S_△ADC=$\frac{1}{2}$•AD•OC=$\frac{1}{2}$×6×4=12．

（3）如图1中，

∵S_△BDP=S_△BDC，
∴点P的纵坐标为4或-4，
当y=4时，-$\frac{1}{4}$（x+3）²+$\frac{25}{4}$=4，解得x=-6或0，
y=-4时，-$\frac{1}{4}$（x+3）²+$\frac{25}{4}$=-4，解得x=-3±$\sqrt{41}$，
∴P₁（-6，4），P₂（-3-$\sqrt{41}$，-4），P₃（-3+$\sqrt{41}$，-4）．

（4）①如图2中，连接OP，设P（t，-$\frac{1}{4}$（t+3）²+$\frac{25}{4}$）．

∴S_△PCD=S_△POD+S_△POC-S_△OCD=$\frac{1}{2}$×4×[-$\frac{1}{4}$（t+3）²+$\frac{25}{4}$]+$\frac{1}{2}$×4×（-t）-$\frac{1}{2}$×4×4=-$\frac{1}{2}$t²-5t．

②∵S=-$\frac{1}{2}$t²-5t=-$\frac{1}{2}$（t+5）²+$\frac{25}{2}$，
∵-$\frac{1}{2}$＜0，
∴t=-5时，S有最大值=$\frac{25}{2}$，此时P（-5，$\frac{21}{4}$）．

③由题意可知：$\frac{1}{2}$×4×（-$\frac{1}{4}$t²-$\frac{3}{2}$t+4）：（-$\frac{1}{2}$t²-5t）=2：3或$\frac{1}{2}$×4×（-$\frac{1}{4}$t²-$\frac{3}{2}$t+4）：（-$\frac{1}{2}$t²-5t）=3：2，
解得：t=8或-6或-2或-16，
t=8和-16不合题意舍弃，
∴t的值为-2或-6．

点评 本题考查二次函数综合题、待定系数法、三角形的面积等知识，解题的关键是学会用方程的思想思考问题，把问题转化为方程解决，属于中考压轴题．