Question

14．如图，在正方形ABCD中，点E是AD上的点，点F是BC的延长线一点，CF=DE，连结BE和EF，EF与CD交于点G，且∠FBE=∠FEB．
（1）过点F作FH⊥BE于点H，证明：△ABE∽△HFB；
（2）证明：BE²=2AE•BF；
（3）若DG=1，求AE值．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质得到∠AEB=∠EBF，由已知条件得到∠A=∠BHF，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据已知条件得到FH是等腰△FBE底边上的高，求得BH=$\frac{1}{2}$BE，由根据相似三角形的性质得到$\frac{AE}{BH}=\frac{BE}{BF}$，等量代换即可得到结论；
（3）由已知条件得到正方形ABCD的边长为2，设AE=k（0＜k＜2），则DE═2-k，BF=4-k，根据勾股定理列方程即可得到结果．

解答 （1）证明：∵在正方形ABCD中，AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBF，
又∵∠A=90°，FH⊥BE，
∴∠A=∠BHF，
∴△ABE∽△HFB； 

（2）∵∠FBE=∠FEB，
∴BF=EF，FH⊥BE，
∴FH是等腰△FBE底边上的高，
∴BH=$\frac{1}{2}$BE，
由（1）得，$\frac{AE}{BH}=\frac{BE}{BF}$，
∴$\frac{AE}{{\frac{1}{2}BE}}=\frac{BE}{BF}$，
∴BE²=2AE•BF；

（3）解：∵DG═1，
∴正方形ABCD的边长为2，
设AE=k（0＜k＜2），则DE═2-k，BF=4-k，
∴在Rt△ABM中，BE²=AB²+AE²=4+k²，
由BE²=2AE•BF，得4+k²=2k（4-k），
即3k²-8k+4=0，解得$k=\frac{2}{3}$，k=2，
∵k≠2，
∴AE=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，平行线的性质，证得△ABE∽△HFB是解题的关键．