Question

已知抛物线y=x²+ax+a-3
（1）求证：不论a取何值，抛物线与x轴总有两个交点．
（2）当a=5时，求抛物线与x轴的两个交点间的距离．
（3）直接写出a=

2

 时，抛物线与x轴的两个交点间的距离最小．

Answer 1

分析：（1）求抛物线解析式的判别式，利用配方法判断△＞0即可；
（2）设抛物线与x轴两交点横坐标为x₁，x₂，利用两根关系求|x₁-x₂|的值；
（3）利用两根关系求|x₁-x₂|的表达式，利用非负数的性质求最小值．

解答：解：（1）证明：∵△=a²-4（a-3）=（a-2）²+8＞0，
∴不论a取何值，抛物线与x轴总有两个交点；

（2）当a=5时，求抛物线为y=x²+5x+2，
设抛物线与x轴两交点横坐标为x₁，x₂，
则x₁+x₂=-5，x₁x₂=2，
∴|x₁-x₂|=

(x1-x2) 2

=

(x1+x2) 2-4x1x2

=

25-8

=

17

，
∴抛物线与x轴的两个交点间的距离为

17

；

（3）∵x₁+x₂=-a，x₁x₂=a-3，

∴|x₁-x₂|=

(x1-x2) 2

=

(x1+x2) 2-4x1x2

=

a2-4a+12

=

(a-2)2+8

，

∴a=2抛物线与x轴的两个交点间的距离最小，
故答案是2．

点评：本题考查了抛物线 与x轴的交点求法，根的判别式的运用，两点间的距离的求解．关键是熟悉抛物线与x轴的交点个数的判断方法，利用两根关系求两交点间的距离．