Question

如图，点D在反比例函数y=（k＞0）上，点C在x轴的正半轴上且坐标为（4，0），△ODC是以CO为斜边的等腰直角三角形．
（1）求反比例函数的解析式；

（2）点B为横坐标为1的反比例函数图象上的一点，BA、BE分别垂直x轴和y轴，连接OB，将OABE沿OB折叠，使A点落在点A′处，A′B与y轴交于点F，求OF的长；

（3）直线y=-x+3交x轴于M点，交y轴于N点，点P是双曲线y=（k＞0）上的一动点，PQ⊥x轴于Q点，PR⊥y轴于R点，PQ，PR与直线MN交于H，G两点．给出下列两个结论：①△PGH的面积不变；②MG•NH的值不变，其中有且只有一个结论是正确的，请你选择并证明求值．

Answer 1

解：（1）由题可知：D（2，2），
因为点D在反比例函数y=（k＞0）上，
所以k=4，
∴y=

（2）B点的坐标为（1，4），可知△EBF≌△A'OF，
设OF=x，则EF=A'F=4-x，
在直角三角形A′OF中，A′F²+A′O²=OF²，
∴（4-x）²+1=x²
解得：x=；

（3）MG•NH的值不变，且值为8．
由y=-x+3得：OM=ON
∴∠OMN=∠ONM=45°
∴MG=PQ，NH=PR
∴MG•NH=2PQ•PR=8．
分析：（1）由于三角形OCD是等腰直角三角形，不难得出D（2，2），将其代入反比例函数的解析式y=（k＞0）中即可求出k的值；
（2）根据折叠的性质不难得出△EBF≌△A'OF，那么A′F=OE-OF，可先求出B点坐标，即可得出OE，OA′的长，如果设OF=x，那么A′F=OE-x，可在直角三角形A′OF中，用勾股定理求出x即OF的长；
（3）根据直线MN的解析式可知：三角形MON是等腰直角三角形，那么∠NMO=45°，如果过G作x轴的垂线，不难得出MG=OP，同理可得出NH=PR，因此MG•NH=2OP•PR，而OP•PR=k（k的值在（1）题已经求出），因此MG•NH的值是不变的．
点评：本题主要考查了反比例函数的应用、等腰三角形的判定和性质等知识点．利用数形结合解决此类问题，是非常有效的方法．