Question

12．已知关于x的一元二次方程x²-（2m+3）x+m²+2=0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程的两个根分别为x₁、x₂，且满足x₁²+x₂²=31+x₁x₂，求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）根据方程有实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出结论；
（2）利用根与系数的关系可得出x₁+x₂=2m+3、x₁•x₂=m²+2，结合x₁²+x₂²=31+x₁x₂即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值．

解答 解：（1）∵方程x²-（2m+3）x+m²+2=0有实数根，
∴△=[-（2m+3）]²-4（m²+2）=12m+1≥0，
解得：m≥-$\frac{1}{12}$．
（2）∵方程x²-（2m+3）x+m²+2=0的两个根分别为x₁、x₂，
∴x₁+x₂=2m+3，x₁•x₂=m²+2，
∵x₁²+x₂²=31+x₁x₂，
∴$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-2x₁•x₂=31+x₁x₂，即m²+12m-28=0，
解得：m₁=2，m₂=-14（舍去），
∴实数m的值为2．

点评 本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，熟练掌握当一元二次方程有实数根时根的判别式△≥0是解题的关键．