如图.已知直线l:y=-$\frac{1}{2}$x+2与x轴.y轴交于M.N两点.直线y=x+m与直线l交于点P(1)若点P在一象限.试求出m的取值范围,(2)当直线y=x+m经过线段OM的中点B.求出两直线交点P的坐标,(3)若点M关于原点的对称点为C.过C作x轴的垂线x=n.点A在x轴上.与原点O关于直线x=n对称.设点Q在直线y=-$\frac{1}{2}$x+2上.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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6．如图，已知直线l：y=-$\frac{1}{2}$x+2与x轴，y轴交于M，N两点，直线y=x+m与直线l交于点P
（1）若点P在一象限，试求出m的取值范围；
（2）当直线y=x+m经过线段OM的中点B，求出两直线交点P的坐标；
（3）若点M关于原点的对称点为C，过C作x轴的垂线x=n，点A在x轴上，与原点O关于直线x=n对称，设点Q在直线y=-$\frac{1}{2}$x+2上，点E在直线x=n上，若以A，O，E，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点E的坐标；
（4）设（2）中的直线y=x+m与直线x=n交于点D，若B，D，C三点到同一条直线的距离分别是
d₁，d₂，d₃，问是否存在直线l，使d₁=d₂=$\frac{{d}_{3}}{2}$？若存在，请直接写出d₃的值；若不存在，请说明理由．

分析（1）根据直线y=-$\frac{1}{2}$x+2和直线y=x+m相交于点P，联立两个方程解得x=$\frac{4-2m}{3}$，y=$\frac{4+m}{3}$，再根据点P在第一象限，得出不等式组解答即可．
（2）先得出点M的坐标，再得出点B的坐标，代入直线y=x+m中，求出m的值后，联立方程组，得出点P的坐标即可．
（3）根据点M的坐标得出其对称点C的坐标，再分OA为边和OA为对角线两种情况解答即可；
（4）根据题意画出图形，即可得出d₃的值．

解答解：（1）因为直线y=-$\frac{1}{2}$x+2和直线y=x+m相交点P，
可得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+2}\\{y=x+m}\end{array}\right.$，
解得：x=$\frac{4-2m}{3}$，y=$\frac{4+m}{3}$，
所以点P的坐标为：（$\frac{4-2m}{3}$，$\frac{4+m}{3}$），
因为点P在第一象限，可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4-2m}{3}＞0}\\{\frac{4+m}{3}＞0}\end{array}\right.$，
解得：-4＜m＜2，
所以m的取值范围为：-4＜m＜2；
（2）因为直线y=-$\frac{1}{2}$x+2与x轴交于M点，如图1：
把y=0分别代入解析式中，可得：点M（4，0），
∵点M（4，0），点O的坐标为（0，0），

而B为OM的中点，可得点B的坐标为（2，0），
∴B（2，0）在y=x+m上，
∴把点B的坐标代入直线y=x+m中，可得：2+m=0，
解得：m=-2
∴直线的解析式为：y=x-2，
∵两直线交点为P，
∴联立方程组得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+2}\\{y=x-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{8}{3}}\\{y=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
∴P点坐标为：（$\frac{8}{3}$，$\frac{2}{3}$）；
（3）∵点M的坐标为（4，0），点M关于原点的对称点为C，如图2：
∴可得：点C的坐标为：（-4，0），
∴可得直线的解析式为：x=-4，且可得A（-8，0），
∴OA=8，
①当OA为边时，
∵MC=8，
∴EQ$\underline{\underline{||}}$OA=8，
∴Q必在x=-4左侧，且EQ=8，
∴x_Q=-4-8=-12，
把x=-12代入$y=-\frac{1}{2}x+2=8$，
∴Q（-12，8），E（-4，8）；
②当OA为对角线，
∵CA=CO，
∴CE=CQ，
∴Q（-4，4），
可得：E（-4，-4），
综上所述：E₁（-4，8），E₂（-4，-4）为所求；
（4）存在，如备用图所示的直线l₁、l₂、l₃、l₄存在，且使得${d_1}={d_2}=\frac{d_3}{2}$，即d₃的值分别为：$2\sqrt{2}$，$6\sqrt{2}$，$\frac{{6\sqrt{10}}}{5}$，$\frac{{6\sqrt{10}}}{5}$…．

点评此题考查一次函数的综合应用，关键是列出解析式，利用待定系数法得出解析式，注意与方程组的综合运用．

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