Question

18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E、F分别在AC、BC、AB边上，以AF为直径的⊙O恰好经过D、E，且DE=EF．
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）若∠B=40°，求∠CDE的度数；
（3）若CD=2，CE=4，求⊙O的半径及线段BE的长．

Answer 1

分析 （1）证明：连接OD、OE、DF，如图，利用圆周角定理得∠ADF=90°，则DF∥BC，再证明OE⊥DF，则OE⊥BC，然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）利用互余得到∠BOE=50°，则利用等腰三角形和三角形内角和计算出∠OFE=65°，然后根据圆内接四边形的性质可得到∠CDE的度数；
（3）利用四边形CDHE为矩形得到HE=CD=2，DH=CE=4，设⊙O的半径为r，则OH=OE-HE=r-2，OD=r，则利用勾股定理得到（r-2）²+4²=r²，解方程得到r=5，再证明△OHF∽△OEB，然后利用相似比可计算出BE．

解答 （1）证明：连接OD、OE、DF，如图，
∵AF为直径，
∴∠ADF=90°，
而∠C=90°，
∴DF∥BC，
∵DE=EF，
∴$\widehat{DE}$=$\widehat{EF}$
∴OE⊥DF，
∴OE⊥BC，
∴BC为⊙O的切线；
（2）∵∠OEB=90°，∠B=40°，
∴∠BOE=90°-40°=50°，
∴∠OFE=$\frac{1}{2}$（180°-50°）=65°，
∴∠CDE=∠AFE=65°；
（3）解：易得四边形CDHE为矩形，
∴HE=CD=2，DH=CE=4，
设⊙O的半径为r，则OH=OE-HE=r-2，OD=r，
在Rt△OHD中，（r-2）²+4²=r²，解得r=5，
∵OH⊥DF，
∴HF=DH=4，
∵HF∥BE，
∴△OHF∽△OEB，
∴HF：BE=OH：OE，即4：BE=3：5，
∴BE=$\frac{20}{3}$．

点评 本题考查了切线的判定与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”．也考查了垂径定理和相似三角形的判定与性质．