Question

【题目】如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AG∥CD交BC于点G，点E、F分别为AG、CD的中点，连接DE、FG．

（1）求证：四边形DEGF是平行四边形；

（2）当点G是BC的中点时，求证：四边形DEGF是菱形．

Answer 1

【答案】证明见详解.

【解析】

（1）求出平行四边形AGCD，推出CD=AG，推出EG=DF，EG∥DF，根据平行四边形的判定推出即可.

（2）连接DG，求出∠DGC=90°，求出DF=GF，根据菱形的判定推出即可.

（1）∵AG∥DC，AD∥BC，

∴四边形AGCD是平行四边形

∴AG=DC

∵E、F分别为AG、DC的中点，

∴GE=AG，DF=DC，

即GE=DF，GE∥DF

∴四边形DEGF是平行四边形

（2）连接DG，

∵四边形AGCD是平行四边形，

∴AD=CG

∵G为BC中点，

∴BG=CG=AD

∵AD∥BG，

∴四边形ABGD是平行四边形

∴AB∥DG

∵∠B=90°，

∴∠DGC=∠B=90°

∵F为CD中点，

∴GF=DF=CF，

即GF=DF

∵四边形DEGF是平行四边形，

∴四边形DEGF是菱形.