如图.折叠矩形OABC的一边BC.使点C落在OA边的点D处.已知折痕BE=5.且=.以O为原点.OA所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系.抛物线l:y=﹣x2+x+c经过点E.且与AB边相交于点F． (1)求证:△ABD∽△ODE, (2)若M是BE的中点.连接MF.求证:MF⊥BD, (3)P是线段BC上一点.点Q在抛物线l上.且始终满足PD⊥DQ.在点P运动� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，折叠矩形OABC的一边BC，使点C落在OA边的点D处，已知折痕BE=5，且=，以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线l：y=﹣x²+x+c经过点E，且与AB边相交于点F．

（1）求证：△ABD∽△ODE；

（2）若M是BE的中点，连接MF，求证：MF⊥BD；

（3）P是线段BC上一点，点Q在抛物线l上，且始终满足PD⊥DQ，在点P运动过程中，能否使得PD=DQ？若能，求出所有符合条件的Q点坐标；若不能，请说明理由．

（1）证明：

∵四边形ABCO为矩形，且由折叠的性质可知△BCE≌△BDE，

∴∠BDE=∠BCE=90°，

∵∠BAD=90°，

∴∠EDO+∠BDA=∠BDA+∠DAB=90°，

∴∠EDO=∠DBA，且∠EOD=∠BAD=90°，

∴△ABD∽△ODE；

（2）证明：

∵=，

∴设OD=4x，OE=3x，则DE=5x，

∴CE=DE=5x，

∴AB=OC=CE+OE=8x，

又∵△ABD∽△ODE，

∴==，

∴DA=6x，

∴BC=OA=10x，

在Rt△BCE中，由勾股定理可得BE²=BC²+CE²，即（5）²=（10x）²+（5x）²，解得x=1，

∴OE=3，OD=4，DA=6，AB=8，OA=10，

∴抛物线解析式为y=﹣x²+x+3，

当x=10时，代入可得y=，

∴AF=，BF=AB﹣AF=8﹣=，

在Rt△AFD中，由勾股定理可得DF===，

∴BF=DF，

又M为Rt△BDE斜边上的中点，

∴MD=MB，

∴MF为线段BD的垂直平分线，

∴MF⊥BD；

（3）解：

由（2）可知抛物线解析式为y=﹣x²+x+3，设抛物线与x轴的两个交点为M、N，

令y=0，可得0=﹣x²+x+3，解得x=﹣4或x=12，

∴M（﹣4，0），N（12，0），

过D作DG⊥BC于点G，如图所示，

则DG=DM=DN=8，

∴点M、N即为满足条件的Q点，

∴存在满足条件的Q点，其坐标为（﹣4，0）或（12，0）．

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