Question

19．如图，D为直角△ABC的斜边AB上一点，DE⊥AB交AC于E，如果△AED沿DE翻折，A恰好与B重合，联结CD交BE于F，如果AC=8，tanA=$\frac{1}{2}$，那么CF：DF=6：5．

Answer 1

分析 先根据DE⊥AB，tanA═$\frac{1}{2}$，AC═8，求得BC=4，CE=3，BD=2$\sqrt{5}$，DE=$\sqrt{5}$，再过点C作CG⊥BE于G，作DH⊥BE于H，根据面积法求得CG和DH的长，最后根据△CFG∽△DFH，得到$\frac{CF}{DF}$=$\frac{CG}{DH}$=$\frac{\frac{12}{5}}{2}$=$\frac{6}{5}$即可．

解答 解：∵DE⊥AB，tanA═$\frac{1}{2}$，
∴DE=$\frac{1}{2}$AD，
∵Rt△ABC中，AC═8，tanA═$\frac{1}{2}$，
∴BC=4，AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
又∵△AED沿DE翻折，A恰好与B重合，
∴AD=BD=2$\sqrt{5}$，DE=$\sqrt{5}$，
∴Rt△ADE中，AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=5，
∴CE=8-5=3，
∴Rt△BCE中，BE=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
如图，过点C作CG⊥BE于G，作DH⊥BE于H，则
Rt△BDE中，DH=$\frac{\sqrt{5}×2\sqrt{5}}{5}$=2，
Rt△BCE中，CG=$\frac{3×4}{5}$=$\frac{12}{5}$，
∵CG∥DH，
∴△CFG∽△DFH，
∴$\frac{CF}{DF}$=$\frac{CG}{DH}$=$\frac{\frac{12}{5}}{2}$=$\frac{6}{5}$．
故答案为：6：5．

点评 本题主要考查了折叠的性质、勾股定理和解直角三角形的应用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，解题时注意面积法的灵活运用．