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12.如图,P是抛物线y=2(x-2)2的对称轴上一个动点,直线x=t平行于y轴,分别与直线y=x、抛物线交于点A、B.若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形,则满足条件的t值有(  )
A.1个B.2个C.3个D.4个

分析 可设A点坐标为(t,t),则可用t表示出B点坐标,可得出AB、AP的长,由条件可知AB=AP或AB=BP,从而可得到t的方程,可求得t的值,则可求得答案.

解答 解:
∵y=2(x-2)2=2x2-8x+8,
∴对称轴为x=2,故P点横坐标为2;
当x=t时,直线y=x=t,故A(t,t);
则y=2x2-8x+8=2t2-8t+8,故B(t,2t2-8t+8);
若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形,则有AB=AP或AB=BP,
此时AB=|2t2-8t+8-t|,AP=|t-2|,
可得:|t-2|=|2t2-8t+8-t|;
当2t2-8t+8-t=t-2时,如图1,

则有t2-5t+5=0,解得t1=$\frac{5±\sqrt{5}}{2}$;
当2t2-8t+8-t=2-t时,如图2,

则有t2-4t+3=0,解得t2=1,t3=3;
故符合条件的t值为1或3或$\frac{5±\sqrt{5}}{2}$共4个,
故选D.

点评 本题目主要考查了一次函数图象与二次函数图象上点的特征,等腰直角三角形的性质,根据两点间的距离列出绝对值方程是解题的关键.

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