Question

13．如图，在菱形ABCD中，∠ABC中，∠ABC=60°，点E、F分别从点B、D同时出发，以同样的速度沿边BC、DC向点C运动（点E、F不与点B、D重合）．给出以下四个结论：①AE=AF；②EF∥BD；③当点E、F分别为边BC、DC的中点时，EF=$\sqrt{3}$BE；④当点E、F分别为边BC、DC的中点时，△AEF的面积最大．上述结论中正确的个数有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 ①利用全等三角形的判定得△ABE≌△ADF，再利用全等三角形的性质得出结论；
②利用等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的判定定理，同位角相等，两直线平行，得出结论；
③利用菱形的性质得AC⊥BD，得∠BCO=60°，再利用锐角三角函数求得EF；
④表示出三角形的面积，利用二次函数最值得出结论．

解答 解：∵点E、F分别从点B、D出发以同样的速度沿边BC、DC向点C运动，
∴BE=DF，
在△ABE和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠B=∠D}\\{BE=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE=AF，
故①正确；
∴CE=CF，
∴$∠CEF=\frac{180°-∠C}{2}$，
∵$∠DBC=\frac{180°-∠C}{2}$，
∠CEF=∠DBC，
∴EF∥BD，
故②正确；
当E、F分别为边BC、DC的中点时，
EF=$\frac{1}{2}BD$=BO，
连接AC，
∵在菱形ABCD中，∠B=60°，
∴AC⊥BD，∠CBD=30°，
∴∠BCO=60°，
BO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•2BE=$\sqrt{3}$BE，
∴$EF=\sqrt{3}BE$，
故③正确；
∵△AEF的面积=菱形ABCD的面积-△ABE的面积-△ADF的面积-△CEF的面积
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB²-$\frac{1}{2}$BE•AB×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×2-$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×（AB-BE）²=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$BE²+$\frac{\sqrt{3}}{4}$AB²，
∴△AEF的面积是BE的二次函数，
∴当BE=0时，△AEF的面积最大，
故④错误．
故正确的序号有①②③．
故选C．

点评 本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和等腰三角形的性质，熟练掌握菱形的性质和利用二次函数最值是解题关键．