Question

【题目】已知，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图①所示，A点坐标为（﹣4，0），B点坐标为（6，0），点D为AC的中点，点E为线段AB上一动点，连接DE经过点A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+8．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，将△ADE以DE为轴翻折，点A的对称点为点G，当点G恰好落在抛物线的对称轴上时，求G点的坐标；
（3）如图②，当点E在线段AB上运动时，抛物线y=ax2+bx+8的对称轴上是否存在点F，使得以C、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线y=ax2+bx+8经过点A（﹣4，0），B（6，0），

∴ ，

解得 ，

∴抛物线的解析式是：y=﹣ x2+ x+8

（2）

解：如图1

，

作DM⊥抛物线的对称轴于点M，

设G点的坐标为（1，n），由翻折的性质，可得AD=DG，

∵A（﹣4，0），C（0，8），点D为AC的中点，

∴点D的坐标是（﹣2，4），

∴点M的坐标是（1，4），DM=1﹣（﹣2）=1+2=3，

∵B（6，0），C（0，8），

∴AC= =4 ，

∴AD=2 ，

在Rt△GDM中，DG2=DM2+MG2

32+（4﹣n）2=20，解得n=4 ，

∴G点的坐标为（1，4+ ）或（1，4﹣ ）

（3）

解：存在．

C（0，8），D（﹣2，4），符合条件的点E、F的坐标为：

①如图2

，

CD∥EF，且CD=EF，CDEF时，对角线的交点（﹣ ，4），E1（﹣1，0），F1（1，4）；

②如图3

，

CD∥EF，且CD=EF，CDFE时，对角线的交点（ ，2），E2（3，0），F2（1，﹣4）；

③如图4

，

DE∥CF，DE=CF，DECF时，对角线的交点（﹣1，6），E3（﹣3，0），F3（1，12）．

综上所述：E1（﹣1，0），F1（1，4）；E2（3，0），F2（1，﹣4）；E3（﹣3，0），F3（1，12）

【解析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据线段中点的性质，可得D点坐标，根据勾股定理，可得AC的长，根据翻折的性质，可得DG的长，再根据勾股定理，可得方程，根据解方程，可得答案．（3）根据平行四边形的性质，可得答案．
【考点精析】利用勾股定理的概念和平行四边形的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分．