Question

如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连接DE，作EF⊥DE，EF与AB交于点F，设CE=x，BF=y．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
（3）若设线段AB的长为m，上述其它条件不变，m为何值时，函数y的最大值等于3？

Answer 1

分析：（1）由在矩形ABCD中，EF⊥DE，易证得△DEC∽△EFB，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求得y与x的函数关系式；
（2）将y=-

1

4

x²+

3

2

x配方，可得y=-

1

4

（x-3）²+

9

4

，则可求得x为何值时，y的值最大，最大值是多少；
（3）根据（1）可得函数关系式：y═-

1

m

x²+

6

m

x=-

1

m

（x-3）²+

9

m

，又由函数y的最大值等于3，即可求得m的值．

解答：解：（1）∵EF⊥DE，
∴∠DEC+∠BEF=90°，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∴∠BFE+∠BEF=90°，
∴∠DEC=∠BFE；
在矩形中，∠B=∠C=90°，
∴△DEC∽△EFB，
∴

CD

EC

=

BE

BF

，
∴

4

x

=

6-x

y

，
∴y与x的函数关系式为：y=-

1

4

x²+

3

2

x；

（2）∵y=-

1

4

x²+

3

2

x=-

1

4

（x-3）²+

9

4

，
∴当x=3时，y的值最大，最大值为：y_最大=

9

4

；

（3）由上知当AB=m时，

m

x

=

6-x

y

，
即y=-

1

m

x²+

6

m

x=-

1

m

（x-3）²+

9

m

，
∵函数y的最大值等于3，
∴

9

m

=3，
解得：m=3，
∴当m=3时，y_最大值=3．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及二次函数的性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与函数思想的应用．