Question

6．如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A=90°，AB=AC，A（-2，0）、B（0，d）、C（-3，2）．
（1）求d的值；
（2）将△ABC沿x轴的正方向平移a个单位，在第一象限内B、C两点的对应点B′C′正好落在某反比例函数图象上．请求出这个反比例函数和此时直线B′C′的解析式；
（3）在（2）的条件下，直线B′C′交y轴于点G，作C′M⊥x轴于M．P是线段B′C′上的一点，若△PMC′和△PBB′面积相等，求点P坐标．

Answer 1

分析 （1）作CN⊥x轴于点N，证明Rt△CNA和Rt△AOB，据此即可求出AN=OB=1，进而得解；
（2）分别用含有a的代数式表示出点B′，C′的坐标，并用待定系数法求反比例函数解析式，即可得解；
（3）设出点P的坐标，根据面积相等得到方程，据此即可得解．

解答 解：（1）作CN⊥x轴于点N．
在Rt△CNA和Rt△AOB中，
$\left\{\begin{array}{l}{NC=OA}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴Rt△CNA≌Rt△AOB（HL），
则BO=AN=3-2=1，
∴d=1；
（2）设反比例函数为y=$\frac{k}{x}$，点C′和B′在该比例函数图象上，
设C′（a，2），则B′（a+3，1）
把点C′和B′的坐标分别代入y=$\frac{k}{x}$，得k=2a；k=a+3，
∴2a=a+3，a=3，
则k=6，反比例函数解析式为y=$\frac{6}{x}$．
得点C′（3，2）；B′（6，1）；
设直线C′B′的解析式为y=ax+b，把C′、B′两点坐标代入得$\left\{\begin{array}{l}{3a+b=2}\\{6a+b=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{3}}\\{b=3}\end{array}\right.$；
∴直线C′B′的解析式为：y=-$\frac{1}{3}x+3$；

（3）连结BB′
∵B（0，1），B′（6，1），
∴BB′∥x轴，
设P（m，$-\frac{1}{3}m+3$），作PQ⊥C′M，PH⊥BB′
∴S_△PC’M=$\frac{1}{2}$×PQ×C′M=$\frac{1}{2}$×（m-3）×2=m-3
S_△PBB’=$\frac{1}{2}$×PH×BB′=$\frac{1}{2}$×（$-\frac{1}{3}m+3-1$）×6=-m+6
∴m-3=-m+6
∴m=$\frac{9}{2}$
∴P（$\frac{9}{2}$，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题主要考查了三角形全等的判定与性质，用待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式的知识点，解答第（3）问的关键是正确设出点P的坐标，有一定在难度，要注意总结．