Question

如图，AB是半圆O的直径，过点O作弦AD的垂线交半圆O于点E，交AC于点C，且∠BED=∠C．
（1）判断直线AC与圆O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若AO=5，AD=8，求AC的长．

Answer 1

解：（1）直线AC与圆O的位置关系是相切，
理由：∵∠BED与∠DAB所对的弧都为，
∴∠BED=∠DAB，又∠BED=∠C，
∴∠DAB=∠C，
∵OC⊥AD，
∴∠AFO=90°，
∴∠DAB+∠AOC=90°，
∴∠C+∠AOC=90°，
∴∠OAC=90°，
∴AC⊥OA，
则AC为圆O的切线．

（2）解：连接BD，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD===6，
∴△OAC∽△BDA，
∴OA：BD=AC：DA，
即5：6=AC：8，
∴AC=．
分析：（1）直线AC与圆O的位置关系是相切，理由为：利用同弧所对的圆周角相等可得一对角相等，再由已知的两角相等，等量代换可得∠DAB=∠C，又OC垂直于AD，根据垂直定义可得∠AFO为90°，进而得到三角形AFO中两锐角互余，等量代换可得三角形AOC中两角互余，即∠CAO为90°，即可得到直线AC与圆的切线，得证；
（2）连接BD．由直径直径对的圆周角是直角得∠ADB=90°，由勾股定理求得BD===6，由△OAC∽△BDA得OA：BD=AC：DA，从而求得AC的值．
点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆周角定理，垂直定义，利用了转化及等量代换的思想，其中经过直径一端，且与直径垂直的直线为圆的切线，熟练掌握此性质是证明切线的关键．