Question

（1）如图，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC边上一点，且∠FAE=∠EAD，求证：EF⊥AE．
（2）若将（1）中的“正方形”改为“矩形”、“菱形”和“任意平行四边形”，其它条件不变，则是否仍有“EF⊥AE”的结论．若结论都成立，选取一种画出图形，并简单说明理由，若不成立，也请画图说明理由．

Answer 1

（1）证明：延长AE交BC的延长线于点G． …
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥CG，∠D=∠BCD=∠DCG，
∴∠DAE=∠G
∵∠FAE=∠EAD，
∴∠FAE=∠G
∴AF=FG …
∵E是DC的中点
∴DE=EC，
∵∠AED=∠GEC（对顶角相等）
∵∠D=∠ECG=90°，
∴△ADE≌△GCE （ASA）
∴AE=EG，
∴EF⊥AE． …

（2）解：若将（1）中的“正方形”改为“矩形”、“菱形”和“任意平行四边形”，其它条件不变，结论“EF⊥AE”仍然成立．
例如：“任意平行四边形”…
如图，延长AE交BC的延长线于G，
∵AD∥BC，E是DC的中点，
∴DE=CE，∠ADC=∠ECG，
∴∠DAE=∠G，
∴△ADE≌△GCE，
∴AE=EG，
同（1）一样可得△AFG是等腰三角形，
∴FE⊥AE．…
分析：（1）延长AE交BC的延长线于点G． 由四边形ABCD是正方形，则AD∥CG，从而得出∠DAE=∠G，再根据∠FAE=∠EAD，可得AF=FG，能证明△AEF≌△GEF，则AE=EG，
即EF⊥AE．
（2）例如：“任意平行四边形”，如图，延长AE交BC的延长线于G，由AD∥BC，及E是DC的中点，可得△ADE≌△GCE，得AE=EG，同（1）一样可得△AFG是等腰三角形，于是得FE⊥AE．
点评：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，是一道基础题，难度不大．