Question

如图，在⊙O中，弦AB与CD相交于点M，AD=BC，连接AC．
（1）求证：△MAC是等腰三角形；
（2）若AC为⊙O直径，求证：AC²=2AM•AB．

Answer 1

证明：（1）∵弧AD=弧CB，
∴∠MCA=∠MAC．
∴△MAC是等腰三角形．

（2）连接OM，
∵AC为⊙O直径，
∴∠ABC=90°．
∵△MAC是等腰三角形，AM=CM，OA=OC，
∴MO⊥AC．
∴∠AOM=∠ABC=Rt△．
∵∠MAO=∠CAB，
∴△AOM∽△ABC．
∴
∴AO•AC=AM•AB．
∴AC²=2AM•AB．
分析：（1）由等弧对等角可得∠MCA=∠MAC，再由等角对等边得AM=MC；
（2）求证△AOM∽△ABC、有AO•AC=AM•AB，而AC=2AO，故有AC²=2AM•AB．
点评：本题利用了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，直径对的圆周角为直角，相似三角形的判定和性质求解．