Question

7．在平面直角坐标系中，抛物线C₁：y=ax²+4x+4a（0＜a＜2）．
（1）探究与猜想：若A（1，y_a）、B（0，y_b）、C（-1，y_c）三点均在C₁上，连接BC，作AE∥BC交抛物线C₁于E．
①探究，取a=1，则点E的坐标为（-2，0）．
②猜想：当a值变化时，E点总在直线x=-2上，验证你的猜想．
（2）如图2，若a=1，将抛物线C₁先向右平移3个单位，再向下平移4个单位得到抛物线C₂，C₂交x轴于M，交y轴于N，直线y=kx-9交抛物线C₂于P，Q，当PM∥QN时，求k的值．

Answer 1

分析 （1）①求出抛物线解析式和直线BC的解析式，根据平行设出直线AE的解析式，联立抛物线解方程组即可；
②用a表示点A，B，C的坐标和直线BC解析式，表示出直线AE的解析式，联立抛物线解方程组得出点E的坐标进行分析即可；
（2）先求出平移后C₂解析式，联立直线，求出方程组的解和点P点Q的坐标，根据直线平行列出等式求解即可．

解答 解：（1）①当a=1时，抛物线的解析式为：y=x²+4x+4，
y_a=1+4+4=9，y_b=4，y_c=1-4+4=1，
则A（1，9）、B（0，4）、C（-1，1），
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{-k+b=1}\end{array}\right.$，
解得，k=3，b=4，
∴直线BC的解析式为：y=3x+4，
∵AE∥BC，
∴直线AE的解析式为：y=3x+p，
则3×1+p=9，
解得，p=6，
∴直线AE的解析式为：y=3x+6，
$\left\{\begin{array}{l}{y=3x+6}\\{y={x}^{2}+4x+4}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-2}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=1}\\{{y}_{2}=9}\end{array}\right.$，
∴点E的坐标为（-2，0），
故答案为：（-2，0）；
②理由如下：A（1，y_a）、B（0，y_b）、C（-1，y_c）三点均在C₁上，可求
y_a=a+4+4a=5a+4，y_b=4a，y_c=-a-4+4a=3a-4，
∴A（1，5a+4）、B（0，4a）、C（-1，5a-4），
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{4a=b}\\{5a-4=-k+b}\end{array}\right.$，
解得：k=-a+4，
∵AE∥BC，
∴直线AE的解析式为：y=（-a+4）x+p，
则5a+4=-a+4+p，
解得p=6a，
∴直线AE的解析式为：y=（-a+4）x+6a，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=（-a+4）x+6a}\\{y=a{x}^{2}+4x+4a}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=8a-8}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=5a+4}\end{array}\right.$，
所以点E（-2，8a-8），
所以点E在直线x=-2上．
（2）当a=1时，抛物线的解析式为：y=x²+4x+4，
将抛物线C₁先向右平移3个单位，再向下平移4个单位得到抛物线C_2：y=x²-2x-3，
C₂交x轴于M，交y轴于N，
当x=0时，y=-3，当y=0时x的值为-1或3，
所以点M（-1，0），点N（0，-3），
直线y=kx-9交抛物线C₂于P，Q，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-9}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$，
解得：点P（$\frac{2+k+\sqrt{{k}^{2}+4k-20}}{2}$，$\frac{2+k+\sqrt{{k}^{2}+4k-20}}{2}•k-9$），
点Q（$\frac{2+k-\sqrt{{k}^{2}+4k-20}}{2}$，$\frac{2+k-\sqrt{{k}^{2}+4k-20}}{2}•k-9$），
当PM∥QN时，（$\frac{2+k+\sqrt{{k}^{2}+4k-20}}{2}•k-9$）：（$\frac{2+k+\sqrt{{k}^{2}+4k-20}}{2}$+1）=（$\frac{2+k-\sqrt{{k}^{2}+4k-20}}{2}•k-9$+3）：（$\frac{2+k-\sqrt{{k}^{2}+4k-20}}{2}$），
解得，k=3或k=-7．

点评 此题主要考查二次函数的综合问题，会求函数解析式会分析抛物线与直线的交点问题，会根据直线平行待定系数求直线是解题的关键．