分析 连接AC,通过三角形全等,求得∠BAC=30°,从而求得BC的长,然后根据勾股定理求得CM的长,连接MN,过M点作ME⊥CN于E,则△MNA是等边三角形求得MN=2,设NE=x,表示出CE,根据勾股定理即可求得ME,然后求得tan∠MCN.
解答 解:∵AB=AD=6,AM:MB=AN:ND=1:2,
∴AM=AN=2,BM=DN=4,
连接MN,连接AC,
∵AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=60°
在Rt△ABC与Rt△ADC中,
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{AC=AC}\end{array}\right.$,
∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)
∴∠BAC=∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAD=30°,MC=NC,
∴BC=$\frac{1}{2}$AC,
∴AC2=BC2+AB2,即(2BC)2=BC2+AB2,
3BC2=AB2,
∴BC=2$\sqrt{3}$,
在Rt△BMC中,CM=$\sqrt{B{M}^{2}+B{C}^{2}}=\sqrt{{4}^{2}+(2\sqrt{3})^{2}}=2\sqrt{7}$.
∵AN=AM,∠MAN=60°,
∴△MAN是等边三角形,
∴MN=AM=AN=2,
过M点作ME⊥CN于E,设NE=x,则CE=2$\sqrt{7}$-x,
∴MN2-NE2=MC2-EC2,即4-x2=(2$\sqrt{7}$)2-(2$\sqrt{7}$-x)2,
解得:x=$\frac{\sqrt{7}}{7}$,
∴EC=2$\sqrt{7}$-$\frac{\sqrt{7}}{7}$=$\frac{13\sqrt{7}}{7}$,
∴ME=$\sqrt{M{N}^{2}-N{E}^{2}}=\frac{3\sqrt{21}}{7}$,
∴tan∠MCN=$\frac{ME}{EC}=\frac{3\sqrt{3}}{13}$,
故答案为:$\frac{3\sqrt{3}}{13}$
点评 此题考查了全等三角形的判定与性质,勾股定理以及解直角三角函数,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
州(市) | A | B | C | D | E | F |
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A. | 42,43.5 | B. | 42,42 | C. | 31,42 | D. | 36,54 |
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A. | 5cm | B. | $\sqrt{7}$cm | C. | 5cm或$\sqrt{7}$cm | D. | 以上都不对 |
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