Question

11．如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线MN交BC于点D，交AB于点E，CF∥AB交MN于点F，连接CE、BF．
（1）求证：△BED≌△CFD；
（2）求证：四边形BECF是菱形．
（3）当∠A满足什么条件时，四边形BECF是正方形，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据AAS证明两三角形全等；
（2）利用全等得：BE=CF，由中垂线的性质得：CE=BE，CF=BF，则四边相等，得出四边形BECF是菱形；
（3）根据有一个角是直角的菱形是正方形得结论．

解答 （1）证明：∵MN是BC的中垂线，
∴CD=BD，
∵CF∥AB，
∴∠BED=∠CFD，∠EBD=∠DCF，
∴△BED≌△CFD；
（2）证明：∵MN是BC的中垂线，
∴CE=BE，CF=BF，
由（1）得△BED≌△CFD，
∴BE=CF，
∴BE=CE=CF=BF，
∴四边形BECF是菱形；
（3）解：当∠A=45°时，四边形BECF是正方形，理由是：
∵∠ACB=90°，∠A=45°，
∴∠ABC=90°-45°=45°，
由（2）可得四边形BECF是菱形，
∴∠FBC=∠EBC=45°，
∴∠EBF=90°，
∴四边形BECF是正方形．

点评 本题是四边形的综合题，难度适中，考查了菱形、正方形、等腰直角三形、全等三角形的性质和判定等知识；熟练掌握这些性质是关键，本题证明中要注意运用上一问的结论进行证明．