Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，的、两个顶点在轴上，顶点在轴的负半轴上．已知，，的面积，抛物线经过、、三点．

求此抛物线的函数表达式；

点是抛物线对称轴上的一点，在线段上有一动点，以每秒个单位的速度从向运动，（不与点，重合），过点作，交轴于点，设点的运动时间为秒，试把的面积表示成的函数，当为何值时，有最大值，并求出最大值；

设点是抛物线上异于点，的一个动点，过点作轴的平行线交抛物线于另一点．以为直径画，则在点的运动过程中，是否存在与轴相切的？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】 ； 当时，有最大值是；存在点：，，，使得以为直径的与轴相切．

【解析】

（1）由已知设OA＝m，则OB＝OC＝5m，AB＝6m，由S△ABC＝AB×OC＝15，可求m的值，确定A、B、C三点坐标，由A、B两点坐标设抛物线交点式，将C点坐标代入求解即可；

（2）先根据点B、C的坐标求出直线BC的解析式，在设出点M的坐标，从而求出MH的解析式，根据抛物线的对称轴x＝2得到直线MH与对称轴的交点D的坐标，求出DP的长度，然后根据S△PMH＝S△PMD＋S△PDH，列式得到关于t的二次函数，最后根据二次函数的最值问题解答即可；（3）存在．根据抛物线的解析式设出点E的坐标，然后根据二次函数的对称性求出点E到对称轴的距离，再根据以EF为直径的⊙Q与x轴相切，则点E到x轴的距离等于点E到对称轴的距离相等，然后列出方程，再根据绝对值的性质去掉括号解方程即可，从而得到点E的坐标．

∵，，

设，则，，

由，得，

解得（舍去负值），

∴，，，

设抛物线解析式为，将点坐标代入，得，

∴抛物线解析式为，

即；

∵，，

∴直线的解析式为：，

∵点的运动时间为，

∴，

∵直线平行于直线，

∴直线为，

设直线与对称轴交于点，点的坐标为，

∴，

∴，，

∴当时，有最大值是；∵抛物线的解析式为，

∴设点的坐标为，

又∵抛物线的对称轴为，

∴点到对称轴的距离为，

∵以为直径的与轴相切，

∴，

①，时，即时，，

整理得，，

解得，（舍去），

∴，

此时点的坐标为，

②，时，即时，，

整理得，，

解得，（舍去），

∴，

此时点的坐标为，

③，时，即时，，

整理得，，

解得，（舍去），

∴，

此时点的坐标为，

④，时，即时，，

整理得，，

解得，（舍去），

∴，

此时点的坐标为，

综上所述，存在点：，，，使得以为直径的与轴相切．