Question

16．“如果二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程1-（x-a）（x-b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是m＜a＜b＜n．

Answer 1

分析 依题意画出函数y=（x-a）（x-b）图象草图，根据二次函数的增减性求解．

解答 解：依题意，画出函数y=（x-a）（x-b）的图象，如图所示．
函数图象为抛物线，开口向上，与x轴两个交点的横坐标分别为a，b（a＜b）．
方程1-（x-a）（x-b）=0
转化为（x-a）（x-b）=1，
方程的两根是抛物线y=（x-a）（x-b）与直线y=1的两个交点．
由m＜n，可知对称轴左侧交点横坐标为m，右侧为n．
由抛物线开口向上，则在对称轴左侧，y随x增大而减少，则有m＜a；在对称轴右侧，y随x增大而增大，
则有b＜n．
综上所述，可知m＜a＜b＜n．
故答案为：m＜a＜b＜n．

点评 本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，考查了数形结合的数学思想．解题时，画出函数草图，由函数图象直观形象地得出结论，避免了繁琐复杂的计算．