Question

已知等腰梯形中，AB=DC=2，AD∥BC，AD=3，腰与底相交所成的锐角为60°，动点P在线段BC上运动（ 点P不与B、C点重合），并且∠APQ=60°，PQ交射线CD于点Q，若CQ=y，BP=x，
（1）求下底BC的长．
（2）求y与x的函数解析式，并指出当点P运动到何位置时，线段CQ最长，最大值为多少？
（3）在（2）的条件下，当CQ最长时，PQ与AD交于点E，求QE的长．

Answer 1

分析：（1）过点D作DE∥AB，交BC于E，得到?ABED和等边△DEC，则BC=BE+EC=5；
（2）根据两角对应相等的两三角形相似证明出△CPQ∽△BAP，由相似三角形对应边成比例得到CQ：BP=CP：BA，则y=-

1

2

x²+

5

2

x，根据二次函数的性质可得当x=

5

2

，即当点P运动到BC中点时，线段CQ有最大值

25

8

；
（3）在（2）的条件下，当CQ最长时，BP=CP=

5

2

，CQ=

25

8

，则QD=

9

8

．先由DE∥CP，得出△QDE∽△QCP，根据相似三角形的性质列出比例式，求出DE=

9

10

，并且得出QE：QP=9：25，那么可设QE=9k，QP=25k．再根据两角对应相等的两三角形相似证明△DEQ∽△PEA，DE：PE=EQ：EA，根据相似三角形的对应边成比例得出

9

10

：16k=9k：

21

10

，解方程求出k=

21

40

，进而得到QE的长度．

解答：解：（1）如图1，过点D作DE∥AB，交BC于E，
∵AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴BE=AD=3，DE=AB=DC=2，
∵DE∥AB，
∴∠DEC=∠B=60°，
∴△DEC为等边三角形，
∴EC=DC=2，
∴BC=BE+EC=3+2=5；

（2）如图2，在△CPQ与△BAP中，
∵

∠C=∠B=60° ∠1=∠2=120°-∠3

，
∴△CPQ∽△BAP，
∴CQ：BP=CP：BA，即y：x=（5-x）：2，
∴y=-

1

2

x²+

5

2

x，
当x=

- 5 2

2×(- 1 2 )

=

5

2

，即当点P运动到BC中点时，线段CQ最长，
此时最大值为

0-( 5 2 )2

4×(- 1 2 )

=

25

8

；

（3）如图3，在（2）的条件下，当CQ最长时，BP=CP=

5

2

，CQ=

25

8

，
∴QD=CQ-CD=

25

8

-2=

9

8

．
∵DE∥CP，
∴△QDE∽△QCP，
∴QE：QP=DE：CP=QD：QC，
即QE：QP=DE：

5

2

=

9

8

：

25

8

=9：25，
∴可设QE=9k，QP=25k，且DE=

9

10

，
∴PE=QP-QE=16k，AE=AD-DE=3-

9

10

=

21

10

．
在△DEQ与△PEA中，
∵

∠QDE=∠APE=60° ∠QED=∠AEP

，
∴△DEQ∽△PEA，
∴DE：PE=EQ：EA，
∴

9

10

：16k=9k：

21

10

，
解得k=

21

40

，
∴QE=9k=

9 21

40

．

点评：本题考查了等腰梯形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，综合性较强，有一定难度．