Question

20．在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=12cm，点D从点A出发沿边AB以2cm/s的速度向点B移动，移动过程中始终保持DE∥BC，DF∥AC（点E、F分别在AC、BC上）．设点D移动的时间为t秒．
试解答下列问题：
（1）如图1，当t为多少秒时，四边形DFCE的面积等于20cm²？
（2）如图1，点D在运动过程中，四边形DFCE可能是菱形吗？若能，试求t的值；若不能，请说明理由；
（3）如图2，以点F为圆心，FC的长为半径作⊙F．
①在运动过程中，是否存在这样的t值，使⊙F正好与四边形DFCE的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；
②若⊙F与四边形DFCE至多有两个公共点，请直接写出t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设设点D出t秒后四边形DFCE的面积为20cm²，利用BD×CF=四边形DFCE的面积，列方程解答即可．
（2）因为四边形DECF是平行四边形，所以当DE=DF时，四边形DECF是菱形．列出方程即可解决问题．
（3））①存在．当DB=CF时，⊙F与DE相切．列出方程即可解决．②如图2中，当点D在⊙F上时，⊙F与四边形DECF有两个公共点，求出此时t的值，根据图象即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，设点D出发t秒后四边形DFCE的面积为20cm²，根据题意得，
DE=AD=2t，BD=12-2t，CF=DE=2t，
又∵BD×CF=四边形DFCE的面积，
∴2t（12-2t）=20，
t²-6t+5=0，
（t-1）（t-5）=0，
解得t₁=1，t₂=5；
答：点D出发1秒或5秒后四边形DFCE的面积为20cm²．

（2）可能是菱形．
理由：如图1中，∵DE∥CF，DF∥EC，
∴四边形DECF是平行四边形，
∴当DE=DF时，四边形DECF是菱形．
∵△ADE，△DFB都是等腰直角三角形，
∴DE=2t，DF=$\sqrt{2}$（12-2t），
∴2t=$\sqrt{2}$（12-2t），
∴t=12-6$\sqrt{2}$，
答：t=（12-6$\sqrt{2}$）s时，四边形DECF是菱形，


（3）①存在．如图1中，当DB=CF时，⊙F与DE相切．
则有12-2t=2t，
∴t=3，
答：当t=3s时，⊙F与DE相切．

②如图2中，当点D在⊙F上时，⊙F与四边形DECF有两个公共点，
在Rt△DFB中，∵∠B=90°，AD=DF=CF=2t，BD=BF=12-2t，
∴2t=$\sqrt{2}$（12-2t），
∴t=12-6$\sqrt{2}$，
由图象可知，当12-6$\sqrt{2}$≤t≤6时，⊙F与四边形DFCE至多有两个公共点．

点评 本题考查圆综合题、等腰直角三角形的性质、菱形的判定和性质、切线的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．