Question

13．把一边长为36cm的正方形硬纸板进行适当的剪裁，折成一个长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）
（1）如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子．
①要使折成的长方体盒子的底面积为676cm²，那么剪掉的正方形的边长为多少？
②折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由．
（2）若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上），将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子，若折成的一个长方体盒子的表面积为880cm²，求此时长方体盒子的长、宽、高（只需求出符合要求的一种情况）

Answer 1

分析 （1）①设剪掉的正方形的边长为xcm，根据题意得出（36-2x）²=676，求出即可；
②设剪掉的正方形的边长为xcm，盒子的侧面积为Scm²，则y与x的函数关系为：S=4（36-2x）x，利用二次函数最值求出即可；
（2）设剪掉的长方形盒子的高为acm，利用折成的一个长方形盒子的表面积为880cm²，得出等式方程求出即可．

解答 解：（1）①设剪掉的正方形的边长为xcm．
则（36-2x）²=676，即36-2x=±26，
解得：x₁=31（不合题意，舍去），x₂=5，
∴剪掉的正方形的边长为5cm．                    
②侧面积有最大值．设剪掉的正方形的边长为xcm，盒子的侧面积为Scm²，
则S与x的函数关系为：
S=（36-2x）×x×4=-8x²+144x=-（x-9）²+648，
∴x=9时，S最大=648．  
即当剪掉的正方形的边长为9cm时，长方形盒子的侧面积最大为648cm²；

（2）在如图的一种剪裁图中，设剪掉的正方形的边长为acm，长为（36-2a）cm，宽为（18-a）cm，高为acm．
（36-2a）×36+2a（18-a）=880
解得：a₁=-26（不合题意，舍去），a₂=8．     
∴剪掉的正方形的边长为8cm．此时长方体盒子的长为20cm，宽为10cm，高为8cm．

点评 本题考查了二次函数的应用及二元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，建立数学模型，利用所学知识求解．