Question

【题目】定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为点P的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”．

（1）求点A（2，1）的“坐标差”和抛物线y＝﹣x2+3x+4的“特征值”．

（2）某二次函数＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，点B与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等，求此二次函数的解析式．

（3）如图所示，二次函数y＝﹣x2+px+q的图象顶点在“坐标差”为2的一次函数的图象上，四边形DEFO是矩形，点E的坐标为（7，3），点O为坐标原点，点D在x轴上，当二次函数y＝﹣x2+px+q的图象与矩形的边有四个交点时，求p的取值范围．

Answer 1

【答案】(1)-1,5;(2) y＝﹣x2+3x﹣2；(3) 2＜p＜10.

【解析】

（1）1-2=-1，故“坐标差”为-1，y-x=-x2+3x+4-x=-（x-1）2+5，故“特征值”为5；

（2）由题意得：点C（0，c），故点B、C的“指标差”相等，故点B（-c，0），把点B的坐标代入y=-x2+（1-c）x+c得：0=-（-c）2+b（-c）+c，解得：b=1-c，故：y=-x2+（1-c）x+c，故抛物线的“特征值”为-1，y-x=-x2+（1-c）x+c-x=-x2-cx+c，故=-1，即可求解；

（3）“坐标差”为2的一次函数为：y=x+2，对于图1，直线与矩形边的交点为：（1，3），则对称轴为：-=1，解得：p=2，对于图2，把点E（7，3）代入y=-（x-m）2+m+2并解得：m=5或10（舍去10），即可求解．

解：（1）1﹣2＝﹣1，故“坐标差”为﹣1，

y﹣x＝﹣x2+3x+4﹣x＝﹣（x﹣1）2+5，故“特征值”为5；

（2）由题意得：点C（0，c），且点B、C的“坐标差”相等，

故点B（﹣c，0），把点B的坐标代入y＝﹣x2+bx+c得：

0＝﹣（﹣c）2+b（﹣c）+c，

解得：b＝1﹣c，

故：y＝﹣x2+（1﹣c）x+c，

故抛物线的“特征值”为﹣1，

∴y﹣x＝﹣x2+（1﹣c）x+c﹣x＝﹣x2﹣cx+c，

故＝﹣1．

∴c＝﹣2，b＝3，

故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x﹣2；

（3）“坐标差”为2的一次函数为：y＝x+2，

∵抛物线y＝﹣x2+px+q的图象的顶点在y＝x+2上，

∴设抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣m）2+m+2，

当抛物线与矩形有3个交点时，如图1、2，

对于图1，直线与矩形边的交点为：（1，3），

则对称轴为：﹣＝1，解得：p＝2，

对于图2，把点E（7，3）代入y＝﹣（x﹣m）2+m+2并解得：

m＝5或10（舍去10），

故﹣＝5，解得：p＝10，

故二次函与矩形的边有四个交点时，求p的取值范围：2＜p＜10．