Question

如图1，P是∠BAC平分线上一点，PD⊥AC，垂足为D，以P为圆心，
PD为半径作圆.
【小题1】AB与⊙P相切吗？为什么？
【小题2】若平行于PD的直线MN与⊙P相切于T，并分别交AB、AC于M、N，设PD＝2，∠BAC＝60°，求线段MT的长(结果保留根号)．

 

Answer 1

【小题1】相切
【小题2】4－2或4＋2

解析考点：切线的判定与性质；含30度角的直角三角形；切线长定理。
分析：（1）利用角平分线的性质得出PD=PG，再利用切线的判定定理得出即可；
（2）结合已知画出图形，进而利用勾股定理得出MT即可。

解答：（1）相切，
证明：过点P作PG⊥AB于点G，
∵P是∠BAC平分线上一点，PD⊥AC，垂足为D，
∴PD=PG，
∵以P为圆心，PD为半径作圆，
∴PG=PD等于圆的半径，
∴AB与⊙P相切。
（2）根据已知画出图形：

∵平行于PD的直线MN与⊙P相切于T，PD⊥AC，
∴MN⊥AN，TN=DN，MT=MG，AG=AD，
∵PD=2，∠BAC=60°，
∴∠PAD=30°，
∴PA=4，
∴AG=AD=2，
DN=NT=2，
设MT=MG=x，
∴AN²+MN²=AM²，
∴（2+2）²+（2+x）²=（x+2）²，
解得：x=4+2，
当如图M′N′位置，设M′T′=y，即可得出：
∴（2-2）²+（2+y）²=（2-y）²，
解得：y=4-2，
∴线段MT的长为：4-2或4+2。
点评：此题主要考查了切线的性质定理与判定定理以及勾股定理的应用，根据已知画出图形得出AN2+MN2=AM2是解题关键。