Question

如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为点B、C，且AB=4，DC=1，BC=4．
（1）求AD的长．
（2）P在线段BC上，以每秒1个单位沿BC方向运动，是否存在AP⊥PD？若存在，则几秒后使得AP⊥PD？请说明理由．

Answer 1

解：（1）过D作DE⊥AB于E，
由题意可知：四边形EBCD为矩形，
∴BE=CD，DE=BC，
∵AB=4，DC=1，BC=4，
∴AE=AB-BE=4-1=3，DE=4，
∴AD==5；
（2）解：存在．
如图所示，AP⊥PD，
∴∠APD=90°，
∴∠APB+∠DPC=90°，
又DC⊥BC，∴∠DCP=90°，
∴∠PDC+∠DPC=90°，
∴∠APB=∠PDC，
∵∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCD，
设BP=x，则CP=4-x，
∴4：（4-x）=x：1，
得出x=2，即BP=2，
∴t==2秒后使得AP⊥PD．
分析：（1）过D作DE⊥AB于E，由已知数据和勾股定理即可求出AD的长；
（2）△ABP∽△PCD得出∠BPA+∠DPC=90°，即∠APD=90°，求出BP的长，进而求出时间．
点评：本题考查了矩形的性质和勾股定理的运用以及相似三角形的判定和相似三角形的性质和中考题中常见的存在性问题．