Question

8．如图，已知△ABC中，∠C=90°，点M从点C出发沿CB方向以1cm/s的速度匀速运动，到达点B停止运动，在点M的运动过程中，过点M作直线MN交AC于点N，且保持∠NMC=45°，再过点N作AC的垂线交AB于点F，连接MF．将△MNF关于直线NF对称后得到△ENF，已知AC=8cm，BC=4cm，设点M运动时间为t（s），△ENF与△ANF重叠部分的面积为y（cm²）．
（1）在点M的运动过程中，能否使得四边形MNEF为正方形？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由；
（2）求y关于t的函数解析式及相应t的取值范围；
（3）当y取最大值时，求sin∠NEF的值．

Answer 1

分析 （1）由已知得出CN=CM=t，FN∥BC，得出AN=8-t，由平行线证出△ANF∽△ACB，得出对应边成比例求出NF=$\frac{1}{2}$AN=$\frac{1}{2}$（8-t），由对称的性质得出∠ENF=∠MNF=∠NMC=45°，MN=NE，OE=OM=CN=t，由正方形的性质得出OE=ON=$\frac{1}{2}$FN，得出方程，解方程即可；
（2）分两种情况：①当0＜t≤2时，由三角形面积得出y=-$\frac{1}{4}$t²+2t；
②当2＜t≤4时，作GH⊥NF于H，由（1）得：NF=$\frac{1}{2}$（8-t），GH=NH，GH=2FH，得出GH=$\frac{2}{3}$NF=$\frac{1}{3}$（8-t），由三角形面积得出y=$\frac{1}{12}$（8-t）²（2＜t≤4）；
（3）当点E在AB边上时，y取最大值，连接EM，则EF=BF，EM=2CN=2CM=2t，EM=2BM，得出方程，解方程求出CN=CM=2，AN=6，得出BM=2，NF=$\frac{1}{2}$AN=3，因此EM=2BM=4，作FD⊥NE于D，由勾股定理求出EB=$\sqrt{E{M}^{2}+B{M}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，求出EF=$\frac{1}{2}EB$=$\sqrt{5}$，由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出DF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$NF=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，在Rt△DEF中，由三角函数定义即可求出sin∠NEF的值．

解答 解：（1）能使得四边形MNEF为正方形；理由如下：
连接ME交NF于O，如图1所示：
∵∠C=90°，∠NMC=45°，NF⊥AC，
∴CN=CM=t，FN∥BC，
∴AN=8-t，△ANF∽△ACB，
∴$\frac{AN}{NF}=\frac{AC}{BC}$=$\frac{8}{4}$=2，
∴NF=$\frac{1}{2}$AN=$\frac{1}{2}$（8-t），
由对称的性质得：∠ENF=∠MNF=∠NMC=45°，MN=NE，OE=OM=CN=t，
∵四边形MNEF是正方形，
∴OE=ON=$\frac{1}{2}$FN，
∴t=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$（8-t），
解得：t=$\frac{8}{5}$；
即在点M的运动过程中，能使得四边形MNEF为正方形，t的值为$\frac{8}{5}$；

（2）分两种情况：
①当0＜t≤2时，y=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$（8-t）×t=-$\frac{1}{4}$t²+2t，
即y=-$\frac{1}{4}$t²+2t（0＜t≤2）；
②当2＜t≤4时，如图2所示：作GH⊥NF于H，
由（1）得：NF=$\frac{1}{2}$（8-t），GH=NH，GH=2FH，
∴GH=$\frac{2}{3}$NF=$\frac{1}{3}$（8-t），
∴y=$\frac{1}{2}$NF′GH=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$（8-t）×$\frac{1}{3}$（8-t）=$\frac{1}{12}$（8-t）²，
即y=$\frac{1}{12}$（8-t）²（2＜t≤4）；

（3）当点E在AB边上时，y取最大值，
连接EM，如图3所示：
则EF=BF，EM=2CN=2CM=2t，EM=2BM，
∵BM=4-t，
∴2t=2（4-t），
解得：t=2，
∴CN=CM=2，AN=6，
∴BM=4-2=2，NF=$\frac{1}{2}$AN=3，
∴EM=2BM=4，
作FD⊥NE于D，则EB=$\sqrt{E{M}^{2}+B{M}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，△DNF是等腰直角三角形，
∴EF=$\frac{1}{2}EB$=$\sqrt{5}$，DF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$NF=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
在Rt△DEF中，sin∠NEF=$\frac{DF}{EF}$=$\frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题是四边形综合题目，考查了正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数、三角形面积的计算、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度．