Question

四边形ABCD内接于圆，△BCD，△ACD，△ABD，△ABC的内心依次记为I_A，I_B，I_C，I_D．
试证：I_AI_BI_CI_D是矩形．（第一届数学奥林匹克国家集训选拔试题）

Answer 1

分析：连接AI_C，AI_D，BI_C，BI_D和DI_B，根据各角之间的关系可求出A，B，I_D，I_C四点共圆，由四点共圆的性质及矩形的判定定理即可得出四边形I_AI_BI_CI_D是矩形．

解答：解：连接AI_C，AI_D，BI_C，BI_D和DI_B．
易得∠AI_CB=90°+

1

2

∠ADB=90°+

1

2

∠ACB=∠AI_DB，
∴A，B，I_D，I_C四点共圆．
同理，A，D，I_B，I_C四点共圆．此时
∠AI_CI_D=180°-∠ABI_D=180°-

1

2

∠ABC，
∠AI_CI_B=180°-∠ADI_B=180°-

1

2

∠ADC，
∴∠AI_CI_D+∠AI_CI_B
=360°-

1

2

（∠ABC+∠ADC）
=360°-

1

2

×180°=270°．
故∠I_BI_CI_D=90°．
同样可证I_AI_BI_CI_D其它三个内角皆为90°．该四边形必为矩形．

点评：本题考查的是四点共圆的判定及性质、矩形的判定定理，解答此类问题的关键是根据题意画出图形，利用数形结合求解．