Question

【题目】如图，已知一次函数y＝x﹣2与反比例函数y＝的图象相交于点A（2，n），与x轴相交于点B．

（1）求k的值以及点B的坐标；

（2）在y轴上是否存在点P，使PA+PB的值最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）k的值为6，B点坐标为（，0）；（2）存在，（0，）

【解析】

（1）根据一次函数解析式，先代入y=0得到B点坐标，再利用一次函数进行确定A（2，3），然后把A点坐标代入y＝中可得到k的值；

（2）作B点关于y轴的对称点B′，连接AB′交y轴于P点，则B′（﹣，0），利用两点之间线段最短可判断此时PA+PB的值最小，再利用待定系数法求出直线AB′的解析式，然后求出直线AB′与y轴的交点坐标得到满足条件的P点坐标．

（1）当y＝0时，x﹣2＝0，解得x＝，

∴B点坐标为（，0），

把A（2，n）代入y＝x﹣2得：n＝×2﹣2＝3，

∴A（2，3），

把A（2，3）代入y＝得：k＝2×3＝6，

∴反比例函数解析式为y＝；

即k的值为6，B点坐标为（，0）；

（2）存在，理由如下：

作B点关于y轴的对称点B′，连接AB′交y轴于P点，如图，则B′（﹣，0），

∵PB′＝PB，

∴PA+PB＝PA+PB′＝AB′，

∴此时PA+PB的值最小，

设直线AB′的解析式为y＝mx+n，

把A（2，3），B′（﹣，0）代入得 ，

解得 ，

∴直线AB′的解析式为y＝x+，

当x＝0时，y＝x+＝，

∴满足条件的P点坐标为（0，）．