Question

已知：如图所示，关于的抛物线与轴交于点、点，与轴交于点．

（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；
（2）在抛物线上有一点，使四边形为等腰梯形，写出点的坐标，并求出直线的解析式；
（3）在（2）中的直线交抛物线的对称轴于点，抛物线上有一动点，轴上有一动点．是否存在以为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

解析试题考查知识点:抛物线的性质及求解析式，直线求解析式，动点问题
思路分析:
具体解答过程:
（1）∵关于的抛物线y=ax²+x+c与轴交于点A（-2,0）、B（6,0）点
∴把x=-2、y=0和x=6、y=0分别代入到y=ax²+x+c可得方程组
解之得：a=-,c=3
∴此抛物线的解析式为：y=-x²+x+3
根据抛物线顶点坐标的计算方法，可知：
横坐标：-=2；纵坐标：=4
∴抛物线的顶点坐标为（2,4）
（2）、如图所示。

过C点做直线CD∥x轴，交抛物线于D，连接AC、BD，则CD两点的纵坐标应该是一样的；根据抛物线的对称性，四边形ABCD必为等腰梯形。
对于y=-x²+x+3，令x=0，则y=3，故知点C的坐标为（0，3）；再令y=3，可得-x²+x+3=3，解之得：x=0或4
∴D点坐标为D（4,3）
设过A（-2,0），D（4,3）两点的直线解析式为y=kx+b。把x=-2,y=0和x=4,y=3分别代入到y=kx+b中解方程组：
解之得：k=,b=1
∴直线AD的解析式为y=x+1
（3）、存在。如下面（A）～（D）图所示，大致有四种情况。


经计算，在图（A）中，Q点的坐标为：（2-2，0）；在图（B）中，Q点的坐标为：（6-2，0）；在图（C）中，Q点的坐标为：（-2-2，0）；在图（D）中，Q点的坐标为：（6+2，0）
试题点评： 这是一道以抛物线为主导的综合题目。