Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠ABC=45°，AD=CD，CE平分∠ACB交AB于点E，在BC上截取BF=AE，连接AF交CE于点G，连接DG交AC于点H，过点A作AN⊥BC，垂足为N，AN交CE于点M．则下列结论；

①CM=AF；②CE⊥AF；③△ABF∽△DAH；④GD平分∠AGC，

其中正确的个数是

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

D
分析：如解答图所示：
结论①正确：证明△ACM≌△ABF即可；
结论②正确：由△ACM≌△ABF得∠2=∠4，进而得∠4+∠6=90°，即CE⊥AF；
结论③正确：证法一：利用四点共圆；证法二：利用三角形全等；
结论④正确：证法一：利用四点共圆；证法二：利用三角形全等．
解答：解：（1）结论①正确．理由如下：
∵∠1=∠2，∠1+∠CMN=90°，∠2+∠6=90°，
∴∠6=∠CMN，又∵∠5=∠CMN，
∴∠5=∠6，
∴AM=AE=BF．
易知ADCN为正方形，△ABC为等腰直角三角形，∴AB=AC．
在△ACM与△ABF中，
，
∴△ACM≌△ABF（SAS），
∴CM=AF；
（2）结论②正确．理由如下：
∵△ACM≌△ABF，∴∠2=∠4，
∵∠2+∠6=90°，∴∠4+∠6=90°，
∴CE⊥AF；
（3）结论③正确．理由如下：
证法一：∵CE⊥AF，∴∠ADC+∠AGC=180°，∴A、D、C、G四点共圆，
∴∠7=∠2，∵∠2=∠4，
∴∠7=∠4，又∵∠DAH=∠B=45°，
∴△ABF∽△DAH；
证法二：∵CE⊥AF，∠1=∠2，
∴△ACF为等腰三角形，AC=CF，点G为AF中点．
在Rt△ANF中，点G为斜边AF中点，
∴NG=AG，∴∠MNG=∠3，∴∠DAG=∠CNG．
在△ADG与△NCG中，
，
∴△ADG≌△NCG（SAS），
∴∠7=∠1，又∵∠1=∠2=∠4，
∴∠7=∠4，又∵∠DAH=∠B=45°，
∴△ABF∽△DAH；
（4）结论④正确．理由如下：
证法一：∵A、D、C、G四点共圆，
∴∠DGC=∠DAC=45°，∠DGA=∠DCA=45°，
∴∠DGC=∠DGA，即GD平分∠AGC．
证法二：∵AM=AE，CE⊥AF，∴∠3=∠4，又∠2=∠4，∴∠3=∠2
则∠CGN=180°-∠1-90°-∠MNG=180°-∠1-90°-∠3=90°-∠1-∠2=45°．
∵△ADG≌△NCG，
∴∠DGA=∠CGN=45°=∠AGC，
∴GD平分∠AGC．
综上所述，正确的结论是：①②③④，共4个．
故选D．
点评：本题是几何综合题，考查了相似三角形的判定、全等三角形的判定与性质、正方形、等腰直角三角形、直角梯形、等腰三角形等知识点，有一定的难度．解答中四点共圆的证法，仅供同学们参考．