Question

张大爷用32米长的篱笆围成一个矩形菜园，菜园一边靠墙（墙长为15米），平行于墙的一面开一扇宽度为2米的门（如图1）．（注：门都用其它材料）
（1）设平行于墙的一面长度为y米，垂直于墙的一面长度为x米，试写出y与x的函数关系，并写出自变量x的取值范围；
（2）设矩形菜园的面积为S₁，则S₁的最大值为多少？
（3）张大爷在菜园内开辟出一个小区域存放化肥（如图2），两个区域用篱笆隔开，并有一扇2米的门相连，设此时整个菜园的面积为S₂（包括化肥存放处），则S₂的最大值为多少？若整个菜园的面积不小于81m²，结合图象，直接写出x的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：

分析：（1）根据矩形的周长与长、宽的关系，可得答案；
（2）根据矩形的面积，可得函数解析式，根据二次函数的性质，可得函数的最大值；
（3）根据矩形的面积，可得函数解析式，根据二次函数的性质，可得函数的最大值，根据函数的图象，可得自变量的取值范围．

解答：解：（1）由题意得y=34-2x  （8.5≤x＜16）；
（2）由题意得S₁=-2x²+34x，
当x=-

b

2a

=8.5时，S_1最大=

4ac-b2

4a

=

0-342

4×(-2)

=

289

2

（m²）；
（3）由题意得：S₂=-3x²+36x，
当x=-

b

2a

=6时，S_2最大=

4ac-b2

4a

=

0-362

4×(-3)

=108（m²）
S₂=-3x²+36x=81
解得x=3或x=9，
如图：
，
由图象得出x的取值范围：3≤x≤9．

点评：本题考查了二次函数的应用，利用了矩形的面积求函数解析式，二次函数的性质．