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(2009•安顺)如图,已知抛物线与x交于A(-1,0)、E(3,0)两点,与y轴交于点B(0,3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线顶点为D,求四边形AEDB的面积;
(3)△AOB与△DBE是否相似?如果相似,请给以证明;如果不相似,请说明理由.

【答案】分析:(1)易得c=3,故设抛物线解析式为y=ax2+bx+3,根据抛物线所过的三点的坐标,可得方程组,解可得a、b的值,即可得解析式;
(2)易由顶点坐标公式得顶点坐标,根据图形间的关系可得四边形ABDE的面积=S△ABO+S梯形BOFD+S△DFE,代入数值可得答案;
(3)根据题意,易得∠AOB=∠DBE=90°,且,即可判断出两三角形相似.
解答:解:(1)∵抛物线与y轴交于点(0,3),
∴设抛物线解析式为y=ax2+bx+3(a≠0)(1分)
根据题意,得
解得
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3(5分);

(2)如图,设该抛物线对称轴是DF,连接DE、BD.过点B作BG⊥DF于点G.
由顶点坐标公式得顶点坐标为D(1,4)(2分)
设对称轴与x轴的交点为F
∴四边形ABDE的面积=S△ABO+S梯形BOFD+S△DFE
=AO•BO+(BO+DF)•OF+EF•DF
=×1×3+×(3+4)×1+×2×4
=9;

(3)相似,如图,
BD=
∴BE=
DE=
∴BD2+BE2=20,DE2=20
即:BD2+BE2=DE2
所以△BDE是直角三角形
∴∠AOB=∠DBE=90°,且
∴△AOB∽△DBE(2分).
点评:本题考查学生将二次函数的图象与解析式相结合处理问题、解决问题的能力.
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