Question

已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，CE平分∠ACB，EF⊥BC于F，且

EF

AC

=

BF

BC

，求证：

1

AC

+

1

BC

=

1

EF

．

Answer 1

分析：过点E作EG⊥AC，可以得到两组相似三角形，△AGE∽△ACB，△BEF∽△BAC，利用相似三角形对应边的比相等，以及角平分线上的点到角两边的距离相等进行证明．

解答：证明：如图：过点E作EG⊥AC于点G，
∵CE平分∠ACB，∴EG=EF．
∵∠ACB=90°，∴△AGE∽△ACB，△BEF∽△BAC，
∴

GE

BC

=

AE

AB

，

EF

AC

=

BE

AB

．
两式相加得：

GE

BC

+

EF

AC

=

AE

AB

+

BE

AB

=

AE+BE

AB

=

AB

AB

=1
∴

GE

BC

+

EF

AC

=1．
∵GE=EF，
∴两边都除以EF得：

1

AC

+

1

BC

=

1

EF

点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据角平分线的性质可以得到EG=EF，然后用两角对应相等可以证明两组三角形相似，利用相似三角形的性质证明．