Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O交BC于点E，且点E是的中点，连接AD交BE于点F，连接EA，ED．

（1）求证：AC＝AF；

（2）若EF＝2，BF＝8，求AF的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）AF＝

【解析】

（1）根据等弧或同弧所对的圆周角相等、等腰三角形的性质及等角的余角相等即可得出答案；

（2）首先根据AB是⊙O的直径，得出AE⊥CF，再根据∠C＝∠C，∠BAC＝∠AEC＝90°，得出△AEC∽△BAC，根据相似三角形的性质即可得出AC＝，进一步可得出答案．

（1）∵∠BAC＝90°

∴∠C+∠ABC＝90°

∵弧

∴∠D=∠B

所以∠C+∠D=90°

∵E是的中点

∴

∴∠EAD＝∠D

∵AB是直径

∴∠AEF=90°

∴∠EAF+∠EFA=90°

∴∠D+∠EFA=90°

∴∠EFA＝∠C

∴AC＝AF

（2）∵AB是⊙O的直径

∴∠AEB＝90°，即AE⊥CF

∵AC＝AF，EF＝2

∴CE＝EF＝2

∵BF＝8

∴BC＝BF+EF+CE＝12

∵∠C＝∠C，∠BAC＝∠AEC＝90°

∴△AEC∽△BAC

∴，即

∴AC2＝24

∴AC＝

∵AC＝AF

∴AF＝