【题目】如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,以AB为直径的⊙O交BC于点E,且点E是的中点,连接AD交BE于点F,连接EA,ED.
(1)求证:AC=AF;
(2)若EF=2,BF=8,求AF的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)AF=
【解析】
(1)根据等弧或同弧所对的圆周角相等、等腰三角形的性质及等角的余角相等即可得出答案;
(2)首先根据AB是⊙O的直径,得出AE⊥CF,再根据∠C=∠C,∠BAC=∠AEC=90°,得出△AEC∽△BAC,根据相似三角形的性质即可得出AC=,进一步可得出答案.
(1)∵∠BAC=90°
∴∠C+∠ABC=90°
∵弧
∴∠D=∠B
所以∠C+∠D=90°
∵E是的中点
∴
∴∠EAD=∠D
∵AB是直径
∴∠AEF=90°
∴∠EAF+∠EFA=90°
∴∠D+∠EFA=90°
∴∠EFA=∠C
∴AC=AF
(2)∵AB是⊙O的直径
∴∠AEB=90°,即AE⊥CF
∵AC=AF,EF=2
∴CE=EF=2
∵BF=8
∴BC=BF+EF+CE=12
∵∠C=∠C,∠BAC=∠AEC=90°
∴△AEC∽△BAC
∴,即
∴AC2=24
∴AC=
∵AC=AF
∴AF=
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【题目】小明在某次作业中得到如下结果:
sin27°+sin283°≈0.122+0.992=0.9945,
sin222°+sin268°≈0.372+0.932=1.0018,
sin229°+sin261°≈0.482+0.872=0.9873,
sin237°+sin253°≈0.602+0.802=1.0000,
sin245°+sin245°=+=1.
据此,小明猜想:对于任意锐角α,均有sin2α+sin2(90°-α)=1.
(1)当α=30°时,验证sin2α+sin2(90°-α)=1是否成立;
(2)小明的猜想是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请举出一个反例.
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【题目】在新冠疫情防控期间,某医疗器械商业集团新进了40台A型电子体温测量仪,60台B型电子体温测量仪,计划调配给下属的甲、乙两个连锁店销售,其中70台给甲连锁店,30台给乙连锁店.两个连锁店销售这两种测量仪每台的利润(元)如下表:
A型 | B型 | |
甲连锁店 | 200 | 170 |
乙连锁店 | 160 | 150 |
设集团调配给甲连锁店台A型测量仪,集团卖出这100台测量仪的总利润为(元).
(1)求关于的函数关系式,并求出的取值范围:
(2)为了促销,集团决定仅对甲连锁店的A型测量仪每台让利元销售,其他的销售利润不变,并且让利后每台A型测量仪的利润仍然高于甲连锁店销售的每台B型测量仪的利润,问该集团应该如何设计调配方案,使总利润达到最大?
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【题目】如图所示,在某海域,一艘指挥船在处收到渔船在处发出的求救信号,经确定,遇险抛锚的渔船所在的处位于处的南偏西45°方向上,且海里;指挥船搜索发现,在处的南偏西60°方向上有一艘海监船,恰好位于处的正西方向.于是命令海监船前往搜救,已知海监船的航行速度为30海里/小时,问渔船在处需要等待多长时间才能得到海监船的救援?(参考数据:、、结果精确到0.1小时)
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【题目】如图,矩形ABCD中,E是AD的中点,将△ABE沿BE折叠使点A落在点G处,延长BG交CD于点F,连接EF,若CF=1,DF=2,则BC的长是( )
A.3B.C.5D.2
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【题目】A,B,C三位同学到小新家做客,小新用如图所示的一次性茶杯给三位同学分别倒了一杯开水,三个杯子从外观看无任何区别,若三位同学均喝完杯中水后外出玩耍,回来后对水杯放置的位置均已忘记.
(1)现A同学随手从三个已用杯子中拿一个杯子,“拿到自己已用杯子”这一事件是________事件,“拿到大家都没用过的杯子”这一事件是__________事件;
(2)A同学先取一个杯子,B同学在剩下的两个杯子中取一个杯子,求两同学均恰好拿到自己已用杯子的概率.
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【题目】如图,正方形的对角线交于点O,,.
(1)在图1中,点A与点E重合,与相交于点P,连接,求证:是等腰三角形.
(2)猜想与的位置关系,并说明理由.
(3)如图2,将绕点D逆时针旋转度角().
①当旋转角为30°时,判断的形状,并说明理由.
②在旋转的过程中,是否存在为等腰三角形的情况?如果存在,直接写出旋转的度数;如果不存在,直接作出判断,不必说明理由.
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【题目】为了解某校九年级男生1000米跑的水平,从中随机抽取部分男生进行测试,并把测试成绩分为D、C、B、A四个等次绘制成如图所示的不完整的统计图,请你依图解答下列问题:
(1)a= ,b= ,c= ;
(2)扇形统计图中表示C等次的扇形所对的圆心角的度数为 度;
(3)学校决定从A等次的甲、乙、丙、丁四名男生中,随机选取两名男生参加全市中学生1000米跑比赛,请用列表法或画树状图法,求甲、乙两名男生同时被选中的概率.
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【题目】已知点,,,,动点以每秒个单位长度的速度沿运动(不与点,重合),设运动时间为秒.
图(1) 图(2)
(1)求经过,,三点的抛物线的函数表达式;
(2)点在(1)中的抛物线上,当为的中点时,若,求点的坐标;
(3)当在上运动时,如图(2),过点作轴,,垂足分别为,,交于点,设矩形与重叠部分的面积为,当为何值时,最大,最大值是多少?
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